Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y=x² và đường thẳng (d): y=2(m-1)x+m+1 (với m là một tham số)
a. Vẽ đồ thị (P).
b. Xác định giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt sao cho x1+3×2-8=0
Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y=x² và đường thẳng (d): y=2(m-1)x+m+1 (với m là một tham số)
a. Vẽ đồ thị (P).
b. Xác định giá trị của tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt sao cho x1+3×2-8=0
Đáp án:
\(m = \dfrac{{17}}{3}\)
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
\(\begin{array}{l}
{x^2} = 2\left( {m – 1} \right)x + m + 1\\
\to {x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x – m – 1 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l}
{x^2} = 2\left( {m – 1} \right)x + m + 1\\
\to {x^2} – 2\left( {m – 1} \right)x – m – 1 = 0\left( 1 \right)\\
\to {m^2} – 2m + 1 + m + 1 > 0\\
\to {m^2} – m + 2 > 0\left( {ld} \right)\forall m \in R\\
\to \left[ \begin{array}{l}
x = m – 1 + \sqrt {{m^2} – m + 2} \\
x = m – 1 – \sqrt {{m^2} – m + 2}
\end{array} \right.\\
Có:{x_1} + 3{x_2} – 8 = 0\\
\to m – 1 + \sqrt {{m^2} – m + 2} + 3m – 3 – 3\sqrt {{m^2} – m + 2} – 8 = 0\\
\to 4m – 12 – 2\sqrt {{m^2} – m + 2} = 0\\
\to 2m – 6 = \sqrt {{m^2} – m + 2} \\
\to 4{m^2} – 24m + 36 = {m^2} – m + 2\left( {DK:m \ge 3} \right)\\
\to 3{m^2} – 23m + 34 = 0\\
\to \left( {3m – 17} \right)\left( {m – 2} \right) = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{17}}{3}\left( {TM} \right)\\
m = 2\left( l \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)