Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (d): y=(m+2)x-m+1 và (d’):x+(m+2)y=m+2, trong đó m tham số. Chứng minh giao điểm 2 đường thẳng trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho (d): y=(m+2)x-m+1 và (d’):x+(m+2)y=m+2, trong đó m tham số. Chứng minh giao điểm 2 đường thẳng trên thuộc một đường cố định khi m thay đổi.
Giải thích các bước giải:
Gọi $M(a,b)$ là giao của $2$ đường thẳng
$\to \begin{cases} b=(m+2)a-m+1\\ a+(m+2)b=m+2\end{cases}$
$\to \begin{cases} b=ma+2a-m+1\\ a+mb+2b=m+2\end{cases}$
$\to \begin{cases} b-2a-1=m(a-1)\\ m(b-1)=2-a-2b\end{cases}$
$\to (b-1)(b-2a-1)= (2-a-2b)(a-1)(=m(a-1)(b-1))$
$\to b^2-2ab-2b+2a+1=-a^2-2ab+3a+2b-2$
$\to a^2+b^2-a-4b+3=0$
$\to (a-\dfrac12)^2+(b-2)^2=\dfrac54$ đúng với mọi $m$
$\to$Giao điểm $2$ đường thẳng luôn di chuyển trên đường tròn $(x-\dfrac12)^2+(y-2)^2=\dfrac54$ cố định khi $m$ thay đổi