Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) :x-y+2=0 và 2 điểm O(0;0) , A(2;0) . Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng (d) sao cho chu vi ΔABC nhỏ nhất)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) :x-y+2=0 và 2 điểm O(0;0) , A(2;0) . Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng (d) sao cho chu vi ΔABC nhỏ nhất)
Đáp án: M(-2/3; 4/3)
Giải thích các bước giải:
Sửa đề cho đúng: Chu vi tam giác OAM
Lấy C là đối xứng điểm O qua đường thẳng d
Ta có d:y=x+2
Gọi pt OC là y=ax (do OC đi qua O nên pt có dạng trên)
Vì OC vuông góc (d)
=> a=-1:1=-1
=> OC: y=-x
Gọi OC cắt (d) tại K
K thoả mãn y=-x và y=x+2
=> x=-1, y=1
=> K(-1,1)
Vì K là trung điểm AC
=> ${x_K} = \frac{{({x_A} + {x_C})}}{2}$
=> ${x_C}$ = -2. Tương tự tìm được ${y_C}$ = 2
=> C(-2;2)
Chu vi tam giác OAM là AO+OM+MA
Vì OA không đổi
=> để chu vi nhỏ nhất thì OM+MA nhỏ nhất
Mà d là trung trực của OC
=> MO=MC
để MC+MA nhỏ nhất thì AC phải cắt d tại M
Ta có pt AC là y=-1/2x+1
M là giao AC và d nên M thoả mãn y=-1/2x+1 và y=x+2
=> M(-2/3; 4/3)