Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng
(d) : y = 2mx + 2m + 1 và parabol (P) : y = x^2
Gọi x1, x2 là hoành độ của điểm A và B, tìm m sao cho
|x1 – x2| = 2
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng
(d) : y = 2mx + 2m + 1 và parabol (P) : y = x^2
Gọi x1, x2 là hoành độ của điểm A và B, tìm m sao cho
|x1 – x2| = 2
Đáp án + Giải thích các bước giải:
Xét phương trình hoành độ giao điểm của `(P)` và `(d)`
`x^2=2mx+2m+1`
`<=>x^2-2mx-2m-1=0`
`Delta=(-2m)^2-4.1.(-2m-1)`
`=4m^2+8m+4`
`=(2m+2)^2\geq0∀m∈RR`
`->` `(P)` luôn cắt `(d)`
`+)` Áp dụng hệ thức Vi – ét ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=-2m-1\end{cases}$
`+)` Lại có `|x_1-x_2|=2`
`<=>(x_1-x_2)^2=2^2`
`<=>x_1^2-2x_1x_2+x_2^2=4`
`<=>(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4`
`=>(2m)^2-4(-2m-1)=4`
`<=>4m^2+8m+4-4=0`
`<=>4m^2+8m=0`
`<=>4m(m+2)=0`
`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}4m=0\\m+2=0\end{array} \right.\)`<=>` \(\left[ \begin{array}{l}m=0\\m=-2\end{array} \right.\)
Vậy khi `m=0;m=-2` thì `(P)` luôn cắt `(d)` có hoành độ là `x_1;x_2` thoả mãn `|x_1-x_2|=2`
Đáp án:
\(\left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = – 2
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là
\(\begin{array}{l}
{x^2} = 2mx + 2m + 1\\
\to {x^2} – 2mx – 2m – 1 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)
Để phương trình có 2 nghiệm
\(\begin{array}{l}
Có:\left| {{x_1} – {x_2}} \right| = 2\\
\to {x_1}^2 – 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = 4\\
\to {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 – 4{x_1}{x_2} = 4\\
\to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = 4\\
\to 4{m^2} – 4\left( { – 2m – 1} \right) = 4\\
\to 4{m^2} + 8m + 4 = 4\\
\to 4{m^2} + 8m = 0\\
\to 4m\left( {m + 2} \right) = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = 0\\
m = – 2
\end{array} \right.
\end{array}\)