Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $(d): y = mx + m + 1$ (với m là tham số) và parabol $(P): y = x^2$. Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1;x_2$ sao cho $x_1 + x_2 + x_1x_2 = \sqrt{x_2} – \sqrt[3]{7 – x_1}$
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)y=x^2$ và $(d)y=mx+m+1$ là:
`\qquad x^2=mx+m+1`
`<=>x^2-mx-m-1=0`
`<=>x^2-1-m(x+1)=0`
`<=>(x-1)(x+1)-m(x+1)=0`
`<=>(x+1)(x-1-m)=0`
$⇔\left[\begin{array}{l}x=-1\\x=m+1\end{array}\right.$
Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì:
`m+1\ne -1<=>m\ne -2`
$\\$
Vì `\sqrt{x_2}` xác định
`=>x_2\ge 0=>x_2=m+1;x_1=-1\ (m\ge-1)`
Theo đề bài:
`\quad x_1+x_2+x_1x_2=\sqrt{x_2}-`$\sqrt[3]{7-x_1}$
`<=>-1+m+1-(m+1)=\sqrt{m+1}-`$\sqrt[3]{7-(-1)}$
`<=>\sqrt{m+1}=1`
`<=>m+1=1`
`<=>m=0` (T M)
Vậy $m=0$