Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho Parabol (P): y=x^2 và đường thẳng (d): y= 2(m+1)x-2 m (m là tham số)
a, Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P), biết điểm A có hoành độ bằng -1
b, Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt vs mọi m
c, Gọi x1, x2 là hoành độ giao điểm của (d) và (P).Tìm m để x1,x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng căn 12
Đáp án:
c) \(\left[ \begin{array}{l}
m = – 1\\
m = 2
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
a) Do điểm A có hoành độ bằng -1 thuộc (P)
Thay x=-1 vào (P) ta có
\(y = {\left( { – 1} \right)^2} = 1\)
Thay x=-1 và y=1 vào (d) ta được
\(\begin{array}{l}
1 = 2\left( {m + 1} \right)\left( { – 1} \right) – 2m\\
\to 1 = – 2m – 2 – 2m\\
\to – 4m = 3\\
\to m = – \dfrac{3}{4}
\end{array}\)
b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là
\(\begin{array}{l}
{x^2} = 2\left( {m + 1} \right)x – 2m\\
\to {x^2} – 2\left( {m + 1} \right)x + 2m = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l}
\to {m^2} + 2m + 1 – 2m > 0\\
\to {m^2} + 1 > 0\left( {ld} \right)\forall m
\end{array}\)
⇒ (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m
c) Để \({x_1};{x_2}\) là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng căn 12
\(\begin{array}{l}
\to \sqrt {{x_1}^2 + {x_2}^2} = \sqrt {12} \\
\to {x_1}^2 + {x_2}^2 = 12\\
\to {x_1}^2 + {x_2}^2 + 2{x_1}{x_2} – 2{x_1}{x_2} = 12\\
\to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 2{x_1}{x_2} = 12\\
\to {\left( {2m + 2} \right)^2} – 2\left( {2m} \right) = 12\\
\to 4{m^2} + 8m + 4 – 4m = 12\\
\to 4{m^2} – 4m – 8 = 0\\
\to {m^2} – m – 2 = 0\\
\to \left( {m + 1} \right)\left( {m – 2} \right) = 0\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = – 1\\
m = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)