Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-4,1) B(2;4) C(2,-2). Tìm tọa độ điểm P thuộc đường thẳng AB sao cho PA² + PB² + 2PC² đạt giá trị nh

0 bình luận về “Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-4,1) B(2;4) C(2,-2). Tìm tọa độ điểm P thuộc đường thẳng AB sao cho PA² + PB² + 2PC² đạt giá trị nh”

1. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    Vì P thuộc đường thẳng $AB$ nên ta có đường thẳng AB như sau $\vec{u_{AB}}=\vec{AB}=(6;3)$ cùng phương với $\vec{u}=(2;1)⇒\vec{n}=(-1;2)$. Vậy phương trình đường thẳng $AB$ có dạng

   $-x+2y+c=0$ Vì $AB$ đi qua A nên $(-1)(-4)+1+c=0⇒c=-5$. Vậy $AB: -x+2y+5=0$. Vì P thuộc đường thẳng $AB$ nên tọa độ của $P$ là $P(x;\frac{x-5}{2})$. Ta có $PA^2=(x+4)^2+(\frac{x-7}{2})^2$, $PB^2=(x-2)^2+(\frac{x-25}{2})^2$, $2PC^2=2[(x-2)^2+(\frac{x-1}{2})^2]$. Cộng tất cả các vế lại ta có:

   $PA^2+PB^2+2PC^2=(x+4)^2+(\frac{x-7}{2})^2+(x-2)^2+(\frac{x-25}{2})^2+2[(x-2)^2+(\frac{x-1}{2})^2]$

   ⇔$PA^2+PB^2+2PC^2=5x^2-21x+197 \geq \frac{3499}{20}$. Dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{21}{10}⇒y=-\frac{29}{20}$

   Bình luận