Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x = 2 – 3t, y = t (t thuộc R) và hai điểm A(4;2), B(2;1).
a) Viết phương trình tổng quát của đường thẳng AB.
b) Viết phương trình đường thẳng d’ song song với đường thẳng d và cách A một khoảng bằng 8/√10.
`a)` $A(4;2);B(2;1)$
`=>VTCP \vec{u}_{AB}=(2-4;1-2)=(-2;-1)`
`=>VTPT \vec{n}_{AB}=(1;-2)`
Phương trình đường thẳng $AB$ qua $A(4;2)$ có `\vec{n}_{AB}=(1;-2)` là:
`\qquad 1.(x-4)-2. (y-2)=0`
`<=>x-2y=0`
Vậy phương trình tổng quát đường thẳng $(AB): x-y=0$
$\\$
`b)` $(d): \begin{cases}x=2-3t\\y=t\end{cases}$
`=>VTCP\ \vec{u}=(-3;1)`
$(d’)$//$(d)$
`=>(d’)` nhận `\vec{u}=(-3;1)` là $VTCP$
Gọi $(d”)$ là đường thẳng qua $A(4;2)$ và vuông góc với $(d’)$
`=>(d”)` nhận $(-3;1)$ là $VTPT$
`=>(d”): -3.(x-4)+1.(y-2)=0`
`<=>(d”): -3x+y+10=0`
Gọi $H$ là giao điểm của $(d”)$ và $(d’)$
`=>AH=8/ \sqrt{10}`
`=>AH^2={32}/5`
`H\in (d”):-3x+y+10=0<=>y=3x-10`
`=>H(a;3a-10)`
`\vec{AH}=(a-4;3a-10-2)=(a-4;3a-12)`
`=>AH^2=(a-4)^2+(3a-12)^2={32}/5`
`<=>(a-4)^2+3^2 (a-4)^2={32}/5`
`=>10(a-4)^2={32}/5`
`<=>(a-4)^2={16}/{25}`
$⇔\left[\begin{array}{l}a-4=\dfrac{4}{5}\\a-4=\dfrac{-4}{5}\end{array}\right.$
$⇔\left[\begin{array}{l}a=\dfrac{24}{5}\\a=\dfrac{16}{5}\end{array}\right.$
$H(a;3a-10)$
`=>H({24}/5; {22}/5)` hoặc `H({-24}/5;{-82}/5)`
`=>(d’)` nhận `\vec{u}=(-3;1)` là $VTCP$
`=>VTPT \ \vec{n}=(1;3)`
+) Với `H({24}/5;{22}/5)\in (d’)`
`=>(d’): 1.(x-{24}/5)+3.(y-{22}/5)=0`
`<=>x+3y-18=0`
+) Với `H({-24}/5;{-82}/5)\in (d’)`
`(d’): 1.(x+{24}/5)+3.(y+{82}/5)=0`
`<=>x+3y+54=0`
Vậy $(d’):x+3y-18=0$ hoặc
$\quad (d’): x+3y+54=0$