Trong mặt phẳng với hệ tọa độ OXY cho Hai điểm P( 3;2) Q( 4 ;- 1) và đường thẳng ∆ 2x + y – 3 = 0 Gọi M là điểm điểm thay đổi trên ∆ giá trị nhỏ nhất

Đáp án:

\(M\left( {\dfrac{{16}}{9}; – \dfrac{5}{9}} \right)\).

Giải thích các bước giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}P\left( P \right) = 2.3 + 2 – 3 = 5 > 0\\P\left( Q \right) = 2.4 + \left( { – 1} \right) – 3 = 4 > 0\\ \Rightarrow P\left( P \right).P\left( Q \right) > 0\end{array}\)

\( \Rightarrow P,\,\,Q\) nằm cùng phía đối với \(\Delta \).

Gọi \(P’\) là điểm đối xứng với \(P\) qua \(\Delta \)

Gọi \(d\) là đường thẳng đi qua P và song song với \(\Delta \)

Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(x – 2y + c = 0\)

\(P\left( {3;2} \right) \in d \Rightarrow 3 – 2.2 + c = 0 \Leftrightarrow c = 1\).

\( \Rightarrow \left( d \right):\,\,x – 2y + 1 = 0\).

Gọi \(H = d \cap \Delta  \Rightarrow H\left( {1;1} \right)\) là trung điểm của PP’.

\( \Leftrightarrow P’\left( { – 1;0} \right)\).

Theo tính chất đối xứng ta có: \(MP = MP’\)

\( \Rightarrow MP + MQ = MP’ + MQ \ge P’Q\)

\( \Rightarrow {\left( {MP + MQ} \right)_{\min }} = P’Q \Leftrightarrow M,\,\,P’,\,\,Q\) thẳng hàng.

\( \Rightarrow M = P’Q \cap \Delta \).

Phương trình đường thẳng \(P’Q\) là:

\(\dfrac{{x + 1}}{{4 + 1}} = \dfrac{{y – 0}}{{ – 1 – 0}} \Leftrightarrow  – x – 1 = 5y \Leftrightarrow x + 5y + 1 = 0\).

Vậy \(M\left( {\dfrac{{16}}{9}; – \dfrac{5}{9}} \right)\).