Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x – 2y – 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC cân, cạnh đáy BC có phương trình x + y + 1 = 0. Phương trình đường cao vẽ từ B là x – 2y – 2 = 0. Điểm M(2; 1) thuộc đường cao vẽ từ C. Viết phương trình các cạnh bên của tam giác ABC.
Đáp án:
$ AB : x + 4y + 4 = 0$
$ AC : 6x + 3y + 1 = 0$
Giải thích các bước giải:
Gọi $N$ là điểm đối xứng với $M(2; 1)$ qua đường cao hạ từ $A$. Do $ΔABC$ cân tại $A ⇒ N ∈$ đường cao hạ từ $B : x – 2y – 2 = 0$ và $MN//BC⇒$ tọa độ $M$ thỏa phương trình $MN$:
$ x + y + m = 0 ⇔ 2 + 1 + m = 0 ⇔ m = – 3$
$ ⇒$ tọa độ $N$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left \{ {{x + y – 3 = 0} \atop {x – 2y – 2 = 0}} \right. ⇒ x = \frac{8}{3}; y = \frac{1}{3} ⇒ N(\frac{8}{3}; \frac{1}{3})$
Gọi vecto $u = (1; – 1)$ là vecto chỉ phương của $BC : x + y + 1 = 0$
Gọi $\alpha _{1}$ là góc giữa vec tơ $BM$ và vecto $u$; $\alpha _{2}$ là góc giữa vec tơ $CM$ và vecto $u$ ⇒ $\alpha _{1} + \alpha _{2} = 180^{0}$
Tọa độ $B$ là nghiệm của hệ phương trình:
$\left \{ {{x + y + 1 = 0} \atop {x – 2y – 2 = 0}} \right. ⇒ x = 0; y = – 1 ⇒ B(0; – 1)$
Gọi $C(c; – (c + 1))$ ( vì $C ∈ x + y + 1 = 0)$
Tọa độ vecto $BM = (2; 2)$; Tọa độ vecto $CN = (\frac{8}{3} – c; \frac{4}{3} + c)$
$ ⇒ vtBM.vtu = 2.1 + 2(- 1) = 0 ⇔ BM⊥BC⇒ \alpha _{1} = \alpha _{2} = 90^{0} ⇒ CN⊥BC ⇒ vtCN.vtu = 0$
$⇔ 1.(\frac{8}{3} – c) + (- 1).(\frac{4}{3} + c) = 0 ⇒ c = \frac{2}{3} ⇒ C(\frac{2}{3}; – \frac{5}{3})$
Có $B(0; – 1); C(\frac{2}{3}; – \frac{5}{3})$ viết được phương trình cạnh $AB; AC$ có pháp vec tơ lần lượt là vt$CM$; vt$BN$
$ AB : x + 4y + 4 = 0$
$ AC : 6x + 3y + 1 = 0$