Trong một giải bóng đá có 6 đội tham gia thi đấu vòng tròn 1 lượt . Đội thắng được 3 điểm hòa được 1 điểm thua được 0 điểm .Sau khi kết thúc giải người ta thấy đội vô địch thua đúng 1 trận và có số điểm bằng tổng điểm của hai đội xếp nhì ba và bằng tổng điểm của ba đội xếp cuối .Hãy tìm số điểm của đội vô địch và đội xếp cuối
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Khi làm bởi toỏn về giỏi bóng đá, ta thường sử dụng hai dữ kiện nhưng quan trọng sau đây:
1) Nếu có k đội bóng thi đốu vòng tròn 1 lượt thì số trận đấu giữa họ là $\frac{k(k-1)}{2}$.
2) Một trận đấu có kết quả phân định thắng thua sẽ mang lại tổng điểm là 3, còn kết quả hòa mang lại tổng điểm là 2.
Quay trở lợi bài toán, ta thấy đội vô địch thua đúng 1 trận, suy ra số điểm của đội vô địch không vượt qua 12.
Theo đề bài, điểm của đội vô địch bằng nửa tổng điểm của 5 đội còn lại. 5 đội này thi đấu với nhau $\frac{5.4}{2} = 10 trận,$
đem lại ít nhất là 20 điểm. Ngoài ra các đội này còn thắng đội vô địch 1 trận. Suy ra tổng điểm của 5 đội ít nhất là 23.
Từ đây suy ra đội vô địch được ít nhất là 11,5 điểm. Vì điểm là chẵn nên từ các lý luận trên, ta suy ra đội vô địch được 12 điểm. Từ đây hai đội nhì, ba có tổng điểm là 12 và 3 đội xếp cuối cũng có tổng điểm là 12. Tổng điểm của tất cỏ các đội là 36.
Giữa 6 đội bóng có tốt cả 15 trận đấu. Nếu tất cả đều phân định thắng thua thì tổng điểm là 45. Nhưng tổng điểm chỉ là 36, suy ra có $45 – 36 = 9$ trận hòa.
Như thế trong 10 trận giữa 5 đội còn lại chỉ có 1 trận thắng – thua, còn lại 9 trận hòa. Suy ra tổng số trận thắng của 5 đội còn lại là 2 trận (1 thắng đội vô địch và 1 thắng lẫn nhau).
Cuối cùng, ta nhộn xét rằng, do đội vô địch không hòa trận nào nên không có đội nào hòa cả 5 trận. Vì vậy, nếu có 1đội bóng được 5 điểm thì đội bóng đó phải thắng 1 trận. Xét đội xếp thứ tư, nếu đội này được 5 điểm trở lên thì đội xếp thứ 2 và thứ 3 cũng được 5 điểm trở lên.
Như vậy các đội 2, 3, 4 mỗi đội đều thắng ít nhất 1 trận. Mâu thuẫn với kết luận ở phần trên. Vậy đội thứ tư được nhỏ hơn 5 điểm. Vì tổng điểm 3 đội 4, 5, 6 bằng 12 nên ta phải có cả 3 đội 4, 5, 6 đều được 4 điểm.
Vậy đội vô địch được 12 điểm và đội xếp cuối được 4 điểm.
Trên thực tế, điều này có thể xảy ra. Dưới đây ta đưa ra tình huống giải thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Đội 1 thắng các đội 2, 4, 5, 6 với tỷ số tương ứng lò 2-0, 4-0, 5-0, 6-0 và thua đội 3 với tỷ số 1-0, được 12 điểm.
Đội 2 thua đội 1 với tỷ số 0-2, thắng đội 3 với tỷ số 2-0 và hòa các đội còn lại, được 6 điểm, hiệu số thắng bại 0.
Đội 3 thắng đội 1 với tỷ số 1-0, thua đội 2 với tỷ số 0-2 vò hòa các đội còn lại, được 6 điểm, hiệu số thắng bại – 1.
Đội 4, 5, 6 thua đội vô địch và hòa tốt cỏ các đội còn lợi, được 4 điểm vò hiệu số thắng bợi tương ứng là -4, -5, -6.