Trong trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( P ) : $y^{}$ = $x^{2}$ và đường thẳng (d) : $y^{}$ = 2$m^{}$$x$ + 2$m^{}$ + 1
Tìm m để ( P ) cắt ( d ) tại hai điểm phân biệt có tung độ $y_{1}$ , $y_{2}$ thỏa mãn :
$y_{1}$ – $y_{2}$ = 48
Trong trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ( P ) : $y^{}$ = $x^{2}$ và đường thẳng (d) : $y^{}$ = 2$m^{}$$x$ + 2$m^{}$ + 1
Tìm m để ( P ) cắt ( d ) tại hai điểm phân biệt có tung độ $y_{1}$ , $y_{2}$ thỏa mãn :
$y_{1}$ – $y_{2}$ = 48
Đáp án: $m∈\{3;-4\}$
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là:
$x^2=2mx+2m+1⇔x^2-2mx-2m-1=0(*)$
Ta có:
$Δ=(-2m)^2-4.1.(-2m-1)$
$=4m^2+8m+4$
Số điểm chung của $(P)$ và $(d)$ là số nghiệm của phương trình $(*)$
$(P)$ cắt $(d)$ tại $2$ điểm phân biệt
$⇔$ Phương trình $(*)$ có $2$ nghiệm phân biệt
$⇔Δ>0⇔4m^2+8m+4>0$
$⇔4(m+1)^2>0⇔(m+1)^2>0$
$⇔(m+1)^2\neq0$ (do $(m+1)^2≥0∀m$)
$⇔m+1\neq0⇔m\neq-1$
Do $y_1;y_2$ là tung độ giao điểm nên hoành độ $x_1;x_2$ của $2$ giao điểm là nghiệm của phương trình $(*)$
Nhận xét: $1-(-2m)+(-2m-1)=0$
$⇒$ Phương trình có $1$ nghiệm bằng $-1,$ nghiệm còn lại là $2m+1$
Xét $2$ trường hợp:
-Nếu $\begin{cases}x_1=-1\\x_2=2m+1\end{cases}⇒\begin{cases}y_1=(-1)^2=1\\y_2=(2m+1)^2\end{cases}$
Ta có: $y_1-y_2=48$
$⇔1-(2m+1)^2=48$
$⇔(2m+1)^2=-47$ (vô nghiệm)
-Nếu $\begin{cases}x_1=2m+1\\x_2=-1\end{cases}⇒\begin{cases}y_1=(2m+1)^2\\y_2=(-1)^2=1\end{cases}$
Ta có: $y_1-y_2=48$
$⇔(2m+1)^2-1=48$
$⇔(2m+1)^2=49$ (vô nghiệm)
$⇔\left[ \begin{array}{l}2m+1=7\\2m+1=-7\end{array} \right.⇔\left[ \begin{array}{l}m=3\\m=-4\end{array} \right.$ (thỏa mãn)
Đáp án:
\(\left[ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{ – 1 + \sqrt {97} }}{2}\\
m = \dfrac{{ – 1 – \sqrt {97} }}{2}\\
m = 0
\end{array} \right.\)
Giải thích các bước giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là
\(\begin{array}{l}
{x^2} = 2mx + 2m + 1\\
\to {x^2} – 2mx – 2m – 1 = 0\left( 1 \right)
\end{array}\)
Để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
⇔ Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 > 0\\
\to {\left( {m + 1} \right)^2} > 0\\
\to m + 1 \ne 0\\
\to m \ne – 1\\
Vi – et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2m\\
{x_1}{x_2} = – 2m – 1
\end{array} \right.\\
Do:{y_1} – {y_2} = 48\\
\to {x_1}^2 – {x_2}^2 = 48\\
\to \left( {{x_1} – {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 48\\
\to 2m\left( {{x_1} – {x_2}} \right) = 48\\
\to m\left( {{x_1} – {x_2}} \right) = 24\\
\to {x_1} – {x_2} = \dfrac{{24}}{m}\left( {m \ne 0} \right)\\
\to {x_1}^2 – 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 = \dfrac{{576}}{{{m^2}}}\\
\to {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 – 4{x_1}{x_2} = \dfrac{{576}}{{{m^2}}}\\
\to {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} – 4{x_1}{x_2} = \dfrac{{576}}{{{m^2}}}\\
\to 4{m^2} – 4\left( { – 2m – 1} \right) = \dfrac{{576}}{{{m^2}}}\\
\to 4{m^2} + 8m + 4 = \dfrac{{576}}{{{m^2}}}\\
\to 4\left( {{m^2} + 2m + 1} \right) = \dfrac{{576}}{{{m^2}}}\\
\to {\left( {m + 1} \right)^2} = \dfrac{{144}}{{{m^2}}}\\
\to \left| {m + 1} \right| = \dfrac{{12}}{{\left| m \right|}}\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m + 1 = \dfrac{{12}}{m}\\
m + 1 = – \dfrac{{12}}{m}
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
\dfrac{{{m^2} + m}}{m} = \dfrac{{12}}{m}\\
\dfrac{{{m^2} + m}}{m} = – \dfrac{{12}}{m}
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
{m^2} + m – 12 = 0\\
{m^2} + m + 12 = 0\left( {vô nghiệm} \right)
\end{array} \right.\\
\to \left[ \begin{array}{l}
m = 4\\
m = – 3
\end{array} \right.
\end{array}\)