Trung tâm thương mại VC của thành phố NT có 100 gian hàng . Nếu mỗi gian hàng của Trung tâm thương mại VC cho thuê với giá 100.000.000 đồng ( một trăm triệu đồng ) một năm thì tất cả các gian hàng đều được thuê hết .Biết rằng , cứ mỗi lần tăng 5% tiền thuê mỗi gian thì Trung tâm thương mại VC có thêm hai gian hàng trống . Hỏi người quản lí phải giải quyết định giá thuê mỗi gian hàng là bao nhiêu để doanh thu của Trung tâm thương mại VC từ tiền cho thuê gian hàng trong năm là lớn nhất ?
( nguồn từ ÔN TẬP THI TUYỂN SINH VÀO 10 MÔN TOÁN của NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM )
* bài giải trong đó giải ngắn quá mình không hiểu được nên nhờ các bạn có sao chép thì cố làm đủ hơn nhé )
Đáp án: $175000000$ đồng
Giải thích các bước giải:
Đặt $100000000=a$
Gọi số lần tăng $5\%$ tiền thuế để để doanh thu của Trung tâm thương mại VC từ tiền cho thuê gian hàng trong năm lớn nhất là $x$ (lần) $(x∈N*)$
$⇒$ Mỗi gian hàng được thuê với giá: `a+x.5%.a=a(1+\frac{x}{20})`
Do cứ mỗi lần tăng $5\%$ tiền thuê mỗi gian thì Trung tâm thương mại VC có thêm hai gian hàng trống nên khi tăng $x$ lần $5\%$ tiền thuê mỗi gian thì Trung tâm thương mại VC có thêm $2x$ gian hàng trống
$⇒$ Số gian được thuê là: $100-2x$ (phòng) $⇒x<50$
Như vậy, doanh thu của Trung tâm thương mại VC từ tiền cho thuê gian hàng trong năm là:
`a(1+\frac{x}{20})(100-2x)` (đồng)
Đặt `S=a(1+\frac{x}{20})(100-2x)`
`=\frac{a}{10}(x+20)(50-x)`
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
`S=\frac{a}{10}(x+20)(50-x)=\frac{a}{40}.4(x+20)(50-x)`
`≤\frac{a}{40}(x+20+50-x)^2=\frac{4900}{40}a=12250000000` (đồng)
Dấu bằng xảy ra $⇔x+20=50-x⇔x=15$
Như vậy, khi doanh thu của Trung tâm thương mại VC từ tiền cho thuê gian hàng trong năm lớn nhất thì số gian hàng được thuê là:
$100-2.15=70$ (gian)
Giá tiền thuê mỗi gian hàng khi đó là
$12250000000÷70=175000000$ (đồng)