Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn (B;C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a, Chứng minh tứ giác ACOB nội tiếp và OA vuông góc với BC
b, Kẻ đường kính BK của (O). AK cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E.Chứng minh:
1, AB² = AE.AK
2, AH.AO = AE.AK
c, Chứng minh rằng HC là phân giác của $\widehat{EHK}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
) Gọi I là trung điểm của BC.
Tam giác BCE vuông tại E nên IE=12BC=IB=ICIE=12BC=IB=IC (định kí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Tam giác BCF vuông tại F nên IF=12BC=IB=ICIF=12BC=IB=IC (định kí đường trung tuyến trong tam giác vuông).
Từ đó suy ra IB=IC=IE=IF⇒IB=IC=IE=IF⇒ 4 điểm B, C, E, F cùng thuộc đường tròn đường kính BC.
Xét đường tròn đường kính BC: ˆBEF=ˆBCF=ˆBCIBEF^=BCF^=BCI^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BF).
Xét đường tròn (O)(O): ˆBCI=ˆBKIBCI^=BKI^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BI).
⇒ˆBEF=ˆBKI⇒BEF^=BKI^. Mà hai góc này ở vị trí đồng vị bằng nhau ⇒EF//KI⇒EF//KI.
b) Xét đường tròn đường kính BC có ˆEBF=ˆECFEBF^=ECF^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EF) hay ˆABK=ˆACIABK^=ACI^ .
Xét đường tròn (O)(O) có (hai góc nội tiếp bằng nhau chắn hai cung bằng nhau) ⇒AI=AK⇒AI=AK (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau).
⇒A⇒A thuộc đường trung trực của IK.
Lại có OI=OK⇒OI=OK⇒ O thuộc trung trực của IK.
⇒OA⇒OA là trung trực của IK ⇒OA⊥IK⇒OA⊥IK hay OI⊥PQOI⊥PQ (do P,Q∈IKP,Q∈IK)
c) Ta có ˆABD=900ABD^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)⇒AB⊥BD(O)⇒AB⊥BD.
Mà CH⊥AB(gt)⇒CH//BDCH⊥AB(gt)⇒CH//BD.
ˆACD=900ACD^=900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)⇒AC⊥CD(O)⇒AC⊥CD.
Mà BH⊥AC(gt)⇒BH//CDBH⊥AC(gt)⇒BH//CD
Xét tứ giác BHCD có CH//BD;BH//CD⇒BHCDCH//BD;BH//CD⇒BHCD là hình bình hành (tứ giác có các cạnh cạnh đối song song).