Tứ giác ABCD có A = B, BC = CD và DB là tia phân giác của góc D . Chứng minh
a) Tứ giác ABCD là hình thang vuông.
b) AC^2 + AD^2 = BC^2 + BD^2.
Tứ giác ABCD có A = B, BC = CD và DB là tia phân giác của góc D . Chứng minh
a) Tứ giác ABCD là hình thang vuông.
b) AC^2 + AD^2 = BC^2 + BD^2.
a) Xét ΔCBD có CB=CD(cmt)
nên ΔCBD cân tại C (Định nghĩa Δc cân)
\(\Leftrightarrow\widehat{CBD}=\widehat{CDB}\) (hai góc ở đáy của ΔCBD cân tại C)
mà \(\widehat{CDB}=\widehat{ADB}\) (DB là tia phân giác của \(\widehat{ADC}\))
nên \(\widehat{CBD}=\widehat{ADB}\)
mà \(\widehat{CBD}\) và \(\widehat{ADB}\) là hai góc ở vị trí so le trong
nên AD//BC
⇒\(\widehat{A}+\widehat{ABC}=180^0\) (hai góc trong cùng phía bù nhau)
mà \(\widehat{A}=\widehat{ABC}\)(gt)
nên \(\widehat{A}=\widehat{ABC}\)=`180/2=90`
Xét tứ giác `ADCB` có AD//BC(cmt)
nên `ADCB` là hình thang có hai đáy là `AD` và `BC `
Hình thang ADCB(AD//BC) có \(\widehat{A}=\widehat{ABC}=90^0\)(cmt)
nên `ABCD` là hình thang vuông có hai đáy là `AD` và `BC `
b) Áp dụng định lí Pytago vào `ΔABC` vuông tại `B`, ta được:
\(AC^2=AB^2+BC^2\)
Áp dụng định lí Pytago vào `ΔABD` vuông tại `A`, ta được:
\(AD^2+AB^2=BD^2\)
hay \(AD^2=BD^2-AB^2\)
Ta có: \(AC^2+AD^2\)
\(=AB^2+BC^2+BD^2-AB^2\)
\(=BC^2+BD^2\)(đpcm)