Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA.
Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?
( giải chi tiết , dễ hiểu )
Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E,F,G,H theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB,BC,CD,DA.
Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ?
( giải chi tiết , dễ hiểu )
Đáp án: Tứ giác $EFGH$ là hình chữ nhật
Giải thích các bước giải:
Bạn tự vẽ hình nha.
Xét $ΔABD$ có $E;H$ lần lượt là trung điểm $AB;AD$
$⇒EH$ là đường trung bình $ΔABD$
`⇒EH=\frac{1}{2}BD;EH////BD(1)`
Xét $ΔCBD$ có $F;G$ lần lượt là trung điểm $CB;CD$
$⇒FG$ là đường trung bình $ΔCBD$
`⇒FG=\frac{1}{2}BD;FG////BD(2)`
Xét $ΔABC$ có $E;F$ lần lượt là trung điểm $AB;BC$
$⇒EF$ là đường trung bình $ΔABC$
`⇒EF////AC`
Từ $EF//AC$ mà $AC⊥BD⇒EF⊥BD$
$EF⊥BD$ mà $BD//EH⇒EF⊥EH⇒∠FEH=90^o$
$(1);(2)⇒EH=FG;EH//FG$
Xét tứ giác $EFGH$ có $EH=FG;EH//FG$
$⇒$ Tứ giác $EFGH$ là hình bình hành (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
Xét hình bình hành $EFGH$ có $∠FEH=90^o$
$⇒$ Hình bình hành $EFGH$ là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc vuông)
Đáp án:
` E` là trung điểm `AB`
` H` là trung điểm `AD`
`=>EH` là đường trung bình của ` Δ ABD`
` => EH //BD (**)`
Ta có ` F` là trung điểm `BC ;` ` G` là trung điểm `CD` nên
` => FG ` là đường trung bình của ` ΔBCD`
` => FG // BD (***)`
Từ `(**) ; (***)` ta có
` => EH // FG`
Chứng minh tương tự ta có ` EF` là đường trung bình của `Δ ABC` ; ` GH` là đường trung bình của ` ΔACD`
` EF //AC ; FG //AC `
` => EF //HG`
Vì ` EH // FG; EF //FH` nên tứ giác ` EFGH` là hình bình hành
Lại có ` AC ⊥ BD`
Mà ` EF // AC ; BD // EH` nên
` => EF ⊥ EH`
` => \hat{FEH} = 90^0`. `EFGH` là hình bình hành có ` \hat{FEH} = 90^0`.
` => EFGH` là hình chữ nhật
Vậy ` EFGH` là hình chữ nhật