từ M nắm ngoài (o) kẻ hai tiếp tuyến MA,MB (A,B là tiếp điểm) . C thuộc cung nhỏ AB. từ C kẻ CD vuông góc với AB, CE vuông góc MA, cf vuông góc MB(D thuộc AB ,E thuộc MA , F thuộc MB). gọi I là giao điểm AC và DE, K là giao điểm BC và DF.chứng minh
a, tứ giác ADCE nội tiếp
b, tam giác CDE đồng dạng tam giác CFD
c, CD là phân giác góc ECF , IK song song AB
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
1) Xét tứ giác ADCE có \(\widehat{AEC}=\widehat{ADC}={{90}^{0}}\Rightarrow \widehat{AEC}+\widehat{ADC}={{180}^{0}}\)
Vậy tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn đường kính DE
2) Tứ giác ADCE nội tiếp suy ra \(\widehat{EAC}=\widehat{EDC}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung EC)
\(\widehat{CAD}=\widehat{CED}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
Tương tự ta chứng minh được tứ giác CDBF nội tiếp suy ra
\(\widehat{CBF}=\widehat{CDF}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CF)
\(\widehat{CBD}=\widehat{CFD}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CD)
Mà \(\widehat{EAC}=\widehat{CBD}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung AC) và \(\widehat{CAD}=\widehat{CBF}\)(2 góc nội tiếp cùng chắn cung BC)
Nên \(\widehat{EDC}=\widehat{CFD}\), \(\widehat{CED}=\widehat{CDF}\)
Vậy \(\Delta CDE\sim \Delta CED\left( g.g \right)\)
3) \(\Delta CDE\sim \Delta CED\Rightarrow \widehat{DCE}=\widehat{ECD}\Rightarrow \widehat{ECx}=\widehat{FCx}\). Vậy CD là tia phân giác của\(\widehat{ECD}\)
4) Tứ giác CIDK có:
\(\widehat{ICK}+\widehat{IDK}=\widehat{ICK}+\widehat{IDC}+\widehat{KDC}=\widehat{ICK}+\widehat{EAC}+\widehat{CBF}=\widehat{ICK}+\widehat{CBA}+\widehat{CAB}={{180}^{0}}\)
Nên tứ giác CIDK nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({{180}^{0}}\) )
Suy ra \(\widehat{CIK}=\widehat{CDK}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung CK)
Mà \(\widehat{CDK}=\widehat{CBF}=\widehat{CAB}\)nên \(\widehat{CIK}=\widehat{CAB}\). Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị nên IK // AB