Viết pt các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P với M(-1;-1), N(1,9), P(9,1)

0 bình luận về “Viết pt các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P với M(-1;-1), N(1,9), P(9,1)”

1. Tam giác $ABC$ có $N$ là trung điểm cạnh $AC,M$ là trung điểm cạnh $BC$

   nên $MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

   $\Rightarrow MN//AB$

   +) Đường thẳng $AB$

   đi qua $P(9;1)$,

   $\vec u_{AB}=\vec{MN}=(2;10)\Rightarrow\vec n_{AB}=(5;-1)$

   Phương trình đường thẳng $AB$ là:

   $5(x-9)-(y-1)=0\Leftrightarrow 5x-y-44=0$ (1)

   +) Tương tự đường thẳng $AC$

   đi qua $N(1;9)$,

   $\vec u_{AC}=\vec{MP}=(10;2)\Rightarrow\vec n_{AC}=(1;-5)$

   Phương trình đường thẳng $AC$ là:

   $(x-1)-5(y-9)=0\Leftrightarrow x-5y+44=0$ (2)

   +) Đường thẳng $BC$

   đi qua điểm $M(-1;-1)$,

   $\vec u_{BC}=\vec{PN}=(-8;8)\Rightarrow\vec n_{BC}=(1;1)$

   Phương trình đường thẳng $BC $ là:

   $(x+1)+(y+1)=0\Leftrightarrow x+y+2=0$ (3)

   +) Đường trung trực cạnh $AB$

   đi qua điểm $P(9;1)$,

   $\vec n_{AB}=\vec{MN}=(2;10)=(1;5)$

   Phương trình đường trung trực cạnh $AB$ là:

   $(x-9)+5(y-1)=0\Leftrightarrow x+5y-14=0$

   +) Đường trung trực cạnh $AC$

   đi qua $N(1;9),$

   $\vec n=\vec{MP}=(10;2)=(5;1)$

   Phương trình đường trung trực cạnh $AC$ là:

   $5(x-1)+(y-9)=0\Leftrightarrow 5x+y-14=0$

   +) Đường trung trực cạnh $BC$

   đi qua điểm $M(-1;-1)$,

   $\vec n=\vec{PN}=(-8;8)=(-1;1)$

   Phương trình đường trung trực cạnh $BC$ là:

   $-(x+1)+(y+1)=0\leftrightarrow x-y=0$

   Bình luận

2. Do M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB nên ta có:

   \(\left\{ \begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   {x_B} + {x_C} = 2{x_M}\\
   {x_A} + {x_C} = 2{x_N}\\
   {x_A} + {x_B} = 2{x_P}
   \end{array} \right.\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   {y_B} + {y_C} = 2{y_M}\\
   {y_A} + {y_C} = 2{y_N}\\
   {y_A} + {y_B} = 2{y_P}
   \end{array} \right.
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   \left\{ \begin{array}{l}
   {x_B} + {x_C} =  – 2\\
   {x_A} + {x_C} = 2\\
   {x_A} + {x_B} = 18
   \end{array} \right.\\
   \left\{ \begin{array}{l}
   {y_B} + {y_C} =  – 2\\
   {y_A} + {y_C} = 18\\
   {y_A} + {y_B} = 2
   \end{array} \right.
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   A\left( {11;11} \right)\\
   B\left( {7; – 9} \right)\\
   C\left( { – 9;7} \right)
   \end{array} \right.\)

   Gọi phương trình đường thẳng AB là \(y = a\,x + b\), đường thẳng này đi qua 2 điểm A, B nên tọa độ điểm A, B thỏa mãn phương trình đường thẳng nên ta có hệ phương trình:

   \(\left\{ \begin{array}{l}
   a.11 + b = 11\\
   a.7 + b =  – 9
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   11a + b = 11\\
   7a + b =  – 9
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   a = 5\\
   b =  – 44
   \end{array} \right.\)

   Suy ra phương trình đường thẳng AB là \(y = 5x – 44\)

   Gọi phương trình đường trung trực của AB là \(y = cx + d\). Đường thẳng này vuông góc với AB và đi qua trung điểm P nên ta có:

   \(\left\{ \begin{array}{l}
   a.c =  – 1\\
   c.9 + d = 1
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   c.5 =  – 1\\
   9c + d = 1
   \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
   c =  – \frac{1}{5}\\
   d = \frac{{14}}{5}
   \end{array} \right.\)

   Vậy phương trình đường trung trực của AB là \(y =  – \frac{1}{5}x + \frac{{14}}{5}\)

   Tương tự ta có:

   Phương trình đường thẳng BC là \(y =  – x – 2\)

   Phương trình đường trung trực của BC đi qua M là:  \(y = x\)

   Phương trình đường thẳng AC là: \(y = \frac{1}{5}x + \frac{{44}}{5}\)

   Phương trình đường trung trực của AC đi qua N là:  \(y =  – 5x + 14\)

   Bình luận