Viết pt các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P với M(-1;-1), N(1,9), P(9,1)
Viết pt các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P với M(-1;-1), N(1,9), P(9,1)
By Adeline
Tam giác $ABC$ có $N$ là trung điểm cạnh $AC,M$ là trung điểm cạnh $BC$
nên $MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$
$\Rightarrow MN//AB$
+) Đường thẳng $AB$
đi qua $P(9;1)$,
$\vec u_{AB}=\vec{MN}=(2;10)\Rightarrow\vec n_{AB}=(5;-1)$
Phương trình đường thẳng $AB$ là:
$5(x-9)-(y-1)=0\Leftrightarrow 5x-y-44=0$ (1)
+) Tương tự đường thẳng $AC$
đi qua $N(1;9)$,
$\vec u_{AC}=\vec{MP}=(10;2)\Rightarrow\vec n_{AC}=(1;-5)$
Phương trình đường thẳng $AC$ là:
$(x-1)-5(y-9)=0\Leftrightarrow x-5y+44=0$ (2)
+) Đường thẳng $BC$
đi qua điểm $M(-1;-1)$,
$\vec u_{BC}=\vec{PN}=(-8;8)\Rightarrow\vec n_{BC}=(1;1)$
Phương trình đường thẳng $BC $ là:
$(x+1)+(y+1)=0\Leftrightarrow x+y+2=0$ (3)
+) Đường trung trực cạnh $AB$
đi qua điểm $P(9;1)$,
$\vec n_{AB}=\vec{MN}=(2;10)=(1;5)$
Phương trình đường trung trực cạnh $AB$ là:
$(x-9)+5(y-1)=0\Leftrightarrow x+5y-14=0$
+) Đường trung trực cạnh $AC$
đi qua $N(1;9),$
$\vec n=\vec{MP}=(10;2)=(5;1)$
Phương trình đường trung trực cạnh $AC$ là:
$5(x-1)+(y-9)=0\Leftrightarrow 5x+y-14=0$
+) Đường trung trực cạnh $BC$
đi qua điểm $M(-1;-1)$,
$\vec n=\vec{PN}=(-8;8)=(-1;1)$
Phương trình đường trung trực cạnh $BC$ là:
$-(x+1)+(y+1)=0\leftrightarrow x-y=0$
Do M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_B} + {x_C} = 2{x_M}\\
{x_A} + {x_C} = 2{x_N}\\
{x_A} + {x_B} = 2{x_P}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{y_B} + {y_C} = 2{y_M}\\
{y_A} + {y_C} = 2{y_N}\\
{y_A} + {y_B} = 2{y_P}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{x_B} + {x_C} = – 2\\
{x_A} + {x_C} = 2\\
{x_A} + {x_B} = 18
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{y_B} + {y_C} = – 2\\
{y_A} + {y_C} = 18\\
{y_A} + {y_B} = 2
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A\left( {11;11} \right)\\
B\left( {7; – 9} \right)\\
C\left( { – 9;7} \right)
\end{array} \right.\)
Gọi phương trình đường thẳng AB là \(y = a\,x + b\), đường thẳng này đi qua 2 điểm A, B nên tọa độ điểm A, B thỏa mãn phương trình đường thẳng nên ta có hệ phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}
a.11 + b = 11\\
a.7 + b = – 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
11a + b = 11\\
7a + b = – 9
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a = 5\\
b = – 44
\end{array} \right.\)
Suy ra phương trình đường thẳng AB là \(y = 5x – 44\)
Gọi phương trình đường trung trực của AB là \(y = cx + d\). Đường thẳng này vuông góc với AB và đi qua trung điểm P nên ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}
a.c = – 1\\
c.9 + d = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c.5 = – 1\\
9c + d = 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
c = – \frac{1}{5}\\
d = \frac{{14}}{5}
\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đường trung trực của AB là \(y = – \frac{1}{5}x + \frac{{14}}{5}\)
Tương tự ta có:
Phương trình đường thẳng BC là \(y = – x – 2\)
Phương trình đường trung trực của BC đi qua M là: \(y = x\)
Phương trình đường thẳng AC là: \(y = \frac{1}{5}x + \frac{{44}}{5}\)
Phương trình đường trung trực của AC đi qua N là: \(y = – 5x + 14\)