Với $ x > 0 $ bất phương trình $ \dfrac{x-3}{3\sqrt{x+1}+x+3}\ge \dfrac{2\sqrt{9-x}}{x} $ có tổng nghiệm nguyên là:

0 bình luận về “Với $ x > 0 $ bất phương trình $ \dfrac{x-3}{3\sqrt{x+1}+x+3}\ge \dfrac{2\sqrt{9-x}}{x} $ có tổng nghiệm nguyên là:”

1. Đáp án:

    `17`

   Giải thích các bước giải:

   TXĐ: $D = [ – 1 ; 9 ] \backslash \{ 0 \}$
   Ta có

   \[\begin{array}{*{20}{l}}
   {\dfrac{{x – 3}}{{3\sqrt {x + 1}  + x + 3}} \ge \dfrac{{2\sqrt {9 – x} }}{x} \Leftrightarrow \dfrac{{(x + 1) – 4}}{{x + 1 + 3(\sqrt {x + 1} ) + 2}} \ge \dfrac{{2\sqrt {9 – x} }}{{x + 1 – 1}}}\\
   { \Leftrightarrow \dfrac{{{{(\sqrt {x + 1}  + 1)}^2} – 4}}{{(\sqrt {x + 1}  + 1)(\sqrt {x + 1}  + 2)}} \ge \dfrac{{2\sqrt {9 – x} }}{{(\sqrt {x + 1}  + 1)(\sqrt {x + 1}  – 1)}}}\\
   { \Leftrightarrow \dfrac{{(\sqrt {x + 1}  – 2)(\sqrt {x + 1}  + 2)}}{{(\sqrt {x + 1}  + 1)(\sqrt {x + 1}  + 2)}} \ge \dfrac{{2\sqrt {9 – x} }}{{(\sqrt {x + 1}  + 1)(\sqrt {x + 1}  – 1)}}}\\
   { \Leftrightarrow (\sqrt {x + 1}  – 2) \ge \dfrac{{2\sqrt {9 – x} }}{{(\sqrt {x + 1}  – 1)}}}
   \end{array}\]
   \[\begin{array}{*{20}{l}}
   { \Leftrightarrow (\sqrt {x + 1}  – 2)(\sqrt {x + 1}  – 1) \ge 2\sqrt {9 – x} }\\
   { \Leftrightarrow (\sqrt {x + 1}  – 2)\sqrt {x + 1}  + 2 – 2\sqrt {9 – x}  \ge 0}\\
   { \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} (\sqrt {x + 1}  – 3) + 2(1 – \sqrt {9 – x} ) \ge 0}\\
   { \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt {x + 1} (x – 8)}}{{\sqrt {x + 1}  + 3}} + \dfrac{{2(x – 8)}}{{1 + \sqrt {9 – x} }} \ge 0}\\
   { \Leftrightarrow (x – 8)\left( {\dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1}  + 3}} + \dfrac{2}{{1 + \sqrt {9 – x} }}} \right) \ge 0}\\
   { \Leftrightarrow x \ge 8\left( {do\dfrac{{\sqrt {x + 1} }}{{\sqrt {x + 1}  + 3}} + \dfrac{2}{{1 + \sqrt {9 – x} }} \ge 0\forall x \in (0;9]} \right)}
   \end{array}\]

   ⇒ `x∈{8;9}`

   tổng là: `8+9=17`

   Bình luận