Với x>0. tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M=4×2-3x+1/4x+2020

Ta có

$M = \dfrac{4x^2 – 3x + 1}{4x + 2020}$

$= \dfrac{4x^2 + 2020x – 2023x – 1021615 + 1021616}{4x + 2020}$

$= x – \dfrac{2023}{4} + \dfrac{255404}{x + 505}$

$= x + 505 + \dfrac{255404}{x+505} -\dfrac{4043}{4}$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có

$( x + 505) + \dfrac{255404}{x+505} \geq 2 \sqrt{(x+505) . \dfrac{255404}{x+505}} = 4\sqrt{63851}$

$<-> x + 505 + \dfrac{255404}{x+505} -\dfrac{4043}{4} \geq 4\sqrt{63851} – \dfrac{4043}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $(x+505)^2 = 255404$ hay $x = 2 \sqrt{6318} – 505$

Vậy GTNN của M là $4\sqrt{63851} – \dfrac{4043}{4}$ khi $x = 2 \sqrt{6318} – 505$.