Với 3 số dương a, b, c .chứng minh rằng (a+b+c) (1/a+1/b+1/c) > hoặc bằng 9 16/11/2021 Bởi Camila Với 3 số dương a, b, c .chứng minh rằng (a+b+c) (1/a+1/b+1/c) > hoặc bằng 9
Ap dụng BĐT Cô si ta được : $(a+b+c).(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$ $≥ 3\sqrt[3]{abc}. 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} = 3.3=9$ Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c>0$ Bình luận
(Với $a,b,c$ là số dương) Ta có $( a + b + c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) =$ $1 + 1 + 1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a}$ $= 3 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{a}{c}+ \frac{c}{a}) + (\frac{b}{c} + \frac{c}{b})$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt[]{\frac{a}{b} . \frac{b}{a}} = 2$ $\frac{a}{c} + \frac{c}{a} \geq 2\sqrt[]{\frac{a}{c} . \frac{c}{a}} = 2$ $\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2\sqrt[]{\frac{b}{c} . \frac{c}{b}} = 2$ $=> $ $( a + b + c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} )$ $\geq$ $3 + 2+ 2 + 2 = 9$ (đpcm) Dấu $”=”$ xảy ra khi $a = b = c$ @Team IQ vô cực Bình luận
Ap dụng BĐT Cô si ta được :
$(a+b+c).(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$
$≥ 3\sqrt[3]{abc}. 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} = 3.3=9$
Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c>0$
(Với $a,b,c$ là số dương)
Ta có
$( a + b + c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) =$
$1 + 1 + 1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a}$
$= 3 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{a}{c}+ \frac{c}{a}) + (\frac{b}{c} + \frac{c}{b})$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt[]{\frac{a}{b} . \frac{b}{a}} = 2$
$\frac{a}{c} + \frac{c}{a} \geq 2\sqrt[]{\frac{a}{c} . \frac{c}{a}} = 2$
$\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2\sqrt[]{\frac{b}{c} . \frac{c}{b}} = 2$
$=> $
$( a + b + c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} )$ $\geq$ $3 + 2+ 2 + 2 = 9$ (đpcm)
Dấu $”=”$ xảy ra khi $a = b = c$
@Team IQ vô cực