Với 3 số dương a, b, c .chứng minh rằng (a+b+c) (1/a+1/b+1/c) > hoặc bằng 9

Với 3 số dương a, b, c .chứng minh rằng (a+b+c) (1/a+1/b+1/c) > hoặc bằng 9

0 bình luận về “Với 3 số dương a, b, c .chứng minh rằng (a+b+c) (1/a+1/b+1/c) > hoặc bằng 9”

  1. Ap dụng BĐT Cô si ta được :

    $(a+b+c).(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

    $≥ 3\sqrt[3]{abc}. 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}} = 3.3=9$

    Dấu “=” xảy ra $⇔a=b=c>0$

    Bình luận
  2. (Với $a,b,c$ là số dương)

    Ta có 

    $( a + b + c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ) =$

    $1 + 1 + 1 + \frac{a}{b} + \frac{a}{c} + \frac{b}{a} + \frac{b}{c} + \frac{c}{b} + \frac{c}{a}$

    $= 3 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) + (\frac{a}{c}+ \frac{c}{a}) + (\frac{b}{c} + \frac{c}{b})$

    Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

    $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\sqrt[]{\frac{a}{b} . \frac{b}{a}} = 2$

    $\frac{a}{c} + \frac{c}{a} \geq 2\sqrt[]{\frac{a}{c} . \frac{c}{a}} = 2$

    $\frac{b}{c} + \frac{c}{b} \geq 2\sqrt[]{\frac{b}{c} . \frac{c}{b}} = 2$

    $=> $

    $( a + b + c)( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} )$  $\geq$ $3 + 2+ 2 + 2 = 9$ (đpcm)

    Dấu $”=”$ xảy ra khi $a = b = c$

    @Team IQ vô cực

     

    Bình luận

Viết một bình luận