Với x>4, x$\neq$9 tìm GTNN của B= $\frac{-3}{\sqrt[]{x}-2 }$ .(x+1)

Đáp án:

$\begin{array}{l}
Dkxd:x > 4;x \ne 9\\
B = \dfrac{{ – 3}}{{\sqrt x  – 2}}\left( {x + 1} \right)\\
 = \dfrac{{ – 3\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt x  – 2}}\\
 = \dfrac{{ – 3x – 3}}{{\sqrt x  – 2}}\\
 = \dfrac{{ – 3x + 12 – 12 – 3}}{{\sqrt x  – 2}}\\
 = \dfrac{{ – 3\left( {x – 4} \right) – 15}}{{\sqrt x  – 2}}\\
 = \dfrac{{ – 3\left( {\sqrt x  – 2} \right)\left( {\sqrt x  + 2} \right) – 15}}{{\sqrt x  – 2}}\\
 =  – 3\left( {\sqrt x  + 2} \right) – \dfrac{{15}}{{\sqrt x  – 2}}\\
 =  – 3\left( {\sqrt x  – 2} \right) – \dfrac{{15}}{{\sqrt x  – 2}} – 6 – 6\\
 =  – \left[ {3\left( {\sqrt x  – 2} \right) + \dfrac{{15}}{{\sqrt x  – 2}}} \right] – 12\\
Do:x > 4 \Rightarrow \sqrt x  – 2 > 0\\
Theo\,Co – si:\\
3\left( {\sqrt x  – 2} \right) + \dfrac{{15}}{{\sqrt x  – 2}} \ge 2.\sqrt {3\left( {\sqrt x  – 2} \right).\dfrac{{15}}{{\sqrt x  – 2}}} \\
 \Rightarrow 3\left( {\sqrt x  – 2} \right) + \dfrac{{15}}{{\sqrt x  – 2}} \ge 2.3.\sqrt 5  = 6\sqrt 5 \\
 \Rightarrow  – \left[ {3\left( {\sqrt x  – 2} \right) + \dfrac{{15}}{{\sqrt x  – 2}}} \right] \le  – 6\sqrt 5 \\
 \Rightarrow B \le  – 6\sqrt 5  – 12\\
 \Rightarrow GTLN:B =  – 6\sqrt 5  – 12\\
Khi:3\left( {\sqrt x  – 2} \right) = \dfrac{{15}}{{\sqrt x  – 2}}\\
 \Rightarrow {\left( {\sqrt x  – 2} \right)^2} = 5\\
 \Rightarrow \sqrt x  – 2 = \sqrt 5 \\
 \Rightarrow \sqrt x  = 2 + \sqrt 5 \\
 \Rightarrow x = 9 + 4\sqrt 5 \left( {tmdk} \right)
\end{array}$