Với $a,b,c> 0,ab+bc+ca=1$ . Chứng minh $(1-a)(b^2+c^2)+(1-b)(c^2+a^2)+(1-c)(a^2+b^2)\geq 2-6abc$(*) 20/08/2021 Bởi Samantha Với $a,b,c> 0,ab+bc+ca=1$ . Chứng minh $(1-a)(b^2+c^2)+(1-b)(c^2+a^2)+(1-c)(a^2+b^2)\geq 2-6abc$(*)
$(*)\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ca^{2}+ba^{2}+cb^{2})\geq 2(ab+bc+ca)-abc(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c})=2-abc(2+2+2)=2-6abc$(đpcm) Dấu”$=$” xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$ Bình luận
$(*)\Leftrightarrow 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})-(ab^{2}+ac^{2}+bc^{2}+ca^{2}+ba^{2}+cb^{2})\geq 2(ab+bc+ca)-abc(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{b}{c})=2-abc(2+2+2)=2-6abc$(đpcm)
Dấu”$=$” xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$