Với a, b, c, d > 0 . Chứng minh F= a/b+c + b/c+d + c/d+a + d/a+b lớn hơn hoặc bằng 2.

0 bình luận về “Với a, b, c, d > 0 . Chứng minh F= a/b+c + b/c+d + c/d+a + d/a+b lớn hơn hoặc bằng 2.”

1. Giải thích các bước giải:

    Ta có:

   \(\begin{array}{l}
   F = \frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{c + d}} + \frac{c}{{d + a}} + \frac{d}{{a + b}}\\
    = \frac{{{a^2}}}{{ab + ac}} + \frac{{{b^2}}}{{bc + bd}} + \frac{{{c^2}}}{{dc + ac}} + \frac{{{d^2}}}{{ad + bd}}\\
    \ge \frac{{{{\left( {a + b + c + d} \right)}^2}}}{{ab + ac + bc + bd + dc + ac + ad + bd}}\\
    = \frac{{{a^2} + {b^2} + {c^2} + {d^2} + 2ab + 2bc + 2cd + 2ad + 2ac + 2bd}}{{ab + bc + cd + da + 2\left( {ac + bd} \right)}}\\
    = \frac{{\left( {{a^2} + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} + {d^2}} \right) + 2ab + 2bc + 2cd + 2ad + 2ac + 2bd}}{{ab + bc + cd + da + 2\left( {ac + bd} \right)}}\\
    \ge \frac{{2ac + 2bd + 2ab + 2bc + 2cd + 2ad + 2ac + 2bd}}{{ab + bc + cd + da + 2\left( {ac + bd} \right)}}\\
    = 2
   \end{array}\)

   Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=d

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   ta có f=a/b+c +b/c+d +c/d+a +d/a+b

   =a²/ab+ac +b²/bc+bd +c²/cd+ca +d²/ad+db $\geq$ (a+b+c+d)²/2ac+2bd+(a+c)(b+d) (bđt schwarz)

   =(a+c)²+(b+d)²+2(a+c)(b+d)/2ac+2bd+(a+c)(b+d) (1)

   mặt khác 

    (a+c)²≥4ac ⇔(a-b)²≥0(luôn đúng)

   (b+d)²≥4bd⇔(b-d)²≥0(luôn đúng)

   khi đó :(1)≥4ac+4bd+2(a+c)(b+d)/2ac+2bd+(a+c)(b+d)=2 

   ⇒đpcm

   Bình luận