Với a,b,c là các số thực dương CM:`(a ³+b ³)/ab+(b ³+c ³)/bc+(c ³+a ³ )/ac ≥ 2.(a+b+c)`

0 bình luận về “Với a,b,c là các số thực dương CM:`(a ³+b ³)/ab+(b ³+c ³)/bc+(c ³+a ³ )/ac ≥ 2.(a+b+c)`”

1. Ta có bđt: `x^3+y^3\ge xy(x+y)` với `x,y>0`

   Thật vậy: `⇔(x+y)(x^2-xy+y^2)\ge xy(x+y)`

   `⇔x^2-xy+y^2\ge xy`

   `⇔(x-y)^2\ge 0` (luôn đúng)

   Dấu `=` xảy ra `⇔x=y`

   Áp dụng bđt trên, ta được:

   `(a^3+b^3)/(ab)+(b^3+c^3)/(bc)+(c^3+a^3)/(ac)`

   `≥[ab(a+b)]/(ab)+[bc(b+c)]/(bc)+[ac(a+c)]/(ac)`

   `≥(a+b)+(b+c)+(c+a)=2(a+b+c)` `(Đpcm)`

   Dấu `=` xảy ra `⇔a=b=c`

   Bình luận

2. Bài làm

   Trước hết ta đi chứng minh bất đẳng thức :

   `x³+y³≥xy.(x+y)` Với x,y là số dương

   Thật Vậy:

   `x³+y³≥xy.(x+y)⇔(x+y).(x²+y²-xy)≥xy.(x+y)⇔(x-y)²≥0` ( Luôn đúng )

   Áp dụng bất đẳng thức trên ta được :

   `(a³+b³)/(a.b)+(b³+c³)/(bc)+(c³+a³)/(ac)≥(ab.(a+b))/(ab)+(bc.(b+c))/(bc)+(ca.(c+a))/(ac)=2.(a+b+c)`

   `⇒(a³+b³)/(a.b)+(b³+c³)/(bc)+(c³+a³)/(ac)≥2.(a+b+c)`

   Dấu ”=” `a=b=c`

   Bình luận