Với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a(b-c)² + b(a-c)² + c(b-a)² > a³ + b³ + c³
Đúng mình cho 5 sao × cảm ơn × trả lời hay nhất
Với a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a(b-c)² + b(a-c)² + c(b-a)² > a³ + b³ + c³
Đúng mình cho 5 sao × cảm ơn × trả lời hay nhất
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Vì `a,b,c` là cạnh tam giác :
`=>b-c<a`
`<=>(b-c)^2<a^2`
`<=>a(b-c)^2<a^3(1)`
C/m tương tự :
`=>b(a-c)^2<b^3(2)`
`=>c(b-a)^2<c^3(3)`
Lấy `(1)+(2)+(3)=>a(b-c)^2 + b(a-c)^2 + c(b-a)^2 < a^3 + b^3 + c^3(dpcm)`
Ta có: $a;b;c$ là độ dài 3 cạnh tam giác
$⇒b-c<a$
$⇒(b-c)^2<a^2$
$⇒a.(b-c)^2<a^3$
Chứng minh tương tự ta có:
$b(a-c)^2<b^3$
$c(b-a)^2<c^3$
Cộng vế với vế bđt cùng chiều ta có:
$a(b-c)^2+b(a-c)^2+c(b-a)^2<a^3+b^3+c^3$
$⇒đpcm$