Với mọi a, b. Chứng minh bất dẳng thức: a^2 + b^2/2 > hoặc bằng (a+b/2)^2

0 bình luận về “Với mọi a, b. Chứng minh bất dẳng thức: a^2 + b^2/2 > hoặc bằng (a+b/2)^2”

1. Đáp án :

   Đẳng thức `(a^2+b^2)/2 ≥ ((a+b)/2)^2` luôn đúng

   Giải thích các bước giải :

   `+)`Xét đẳng thức :

   `(a^2+b^2)/2 ≥ ((a+b)/2)^2`

   `<=>(a^2+b^2)/2 ≥ (a+b)^2/4`

   `<=>(4(a^2+b^2))/2 ≥ (4(a+b)^2)/4`

   `<=>2(a^2+b^2) ≥ (a+b)^2`

   `<=>2a^2+2b^2 ≥ a^2+2ab+b^2`

   `<=>2a^2-a^2-2ab+2b^2-b^2 ≥ 0`

   `<=>a^2-2ab+b^2 ≥ 0`

   `<=>(a-b)^2 ≥ 0` (Luôn đúng)

   Xảy ra dấu `=` khi : `a=b`

   Vậy : Đẳng thức `(a^2+b^2)/2 ≥ ((a+b)/2)^2` luôn đúng

   Bình luận

2.  

   Giải thích các bước giải:

    Ta có : $\dfrac{a^2+b^2}{2} ≥ \bigg(\dfrac{a+b}{2}\bigg)^2$

   $⇔ 2.(a^2+b^2) ≥ (a+b)^2$

   $⇔2a^2+2b^2≥ a^2+b^2+2ab$

   $⇔a^2+b^2-2ab ≥ 0 $

   $⇔(a-b)^2 ≥ 0 $ ( luôn đúng )

   Dấu “=” xảy ra khi $a=b$

   Vậy

   $\dfrac{a^2+b^2}{2} ≥ \bigg(\dfrac{a+b}{2}\bigg)^2$

   Bình luận