Với n ∈ ℕ* chứng minh N = 2015^(4n) + 2016^(4n) + 2017^(4n) + 2018^ (4n) không là số chính phương 29/08/2021 Bởi Rose Với n ∈ ℕ* chứng minh N = 2015^(4n) + 2016^(4n) + 2017^(4n) + 2018^ (4n) không là số chính phương
Lời giải: Ta có: $2015 \equiv – 1(\bmod 4) \Rightarrow {2015^{4n}} \equiv 1(\bmod 4)$ (Vì 4n là số chẵn) $2016 \equiv 0(\bmod 4) \Rightarrow {2016^{4n}} \equiv 0(\bmod 4)$ $2017 \equiv 1(\bmod 4) \Rightarrow {2017^{4n}} \equiv 1(\bmod 4)$ $2018 \vdots 2 \Rightarrow {2018^{4n}} \vdots 4 \Leftrightarrow {2018^{4n}} \equiv 0(\bmod 4)$ Vậy ${2015^{4n}} + {2016^{4n}} + {2017^{4n}} + {2018^{4n}} \equiv 1 + 0 + 1 + 1 \equiv 2(\bmod 4)$ Điều này vô lí vì số chính phương không thể chia 4 dư 2. Thật vậy: Xét số chính phương ${n^2}$ ta có: +) Nếu n = 2k thì ${n^2} = {(2k)^2} = 4{k^2} \vdots 4$ +) Nếu n = 2k + 1 thì: ${n^2} = {(2k + 1)^2} = 4{k^2} + 4k + 1$ chia 4 dư 1. Vậy số chính phương chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 khi chia cho 4. Vậy ${2015^{4n}} + {2016^{4n}} + {2017^{4n}} + {2018^{4n}}$ không là số chính phương. Bình luận
Lời giải:
Ta có:
$2015 \equiv – 1(\bmod 4) \Rightarrow {2015^{4n}} \equiv 1(\bmod 4)$ (Vì 4n là số chẵn)
$2016 \equiv 0(\bmod 4) \Rightarrow {2016^{4n}} \equiv 0(\bmod 4)$
$2017 \equiv 1(\bmod 4) \Rightarrow {2017^{4n}} \equiv 1(\bmod 4)$
$2018 \vdots 2 \Rightarrow {2018^{4n}} \vdots 4 \Leftrightarrow {2018^{4n}} \equiv 0(\bmod 4)$
Vậy ${2015^{4n}} + {2016^{4n}} + {2017^{4n}} + {2018^{4n}} \equiv 1 + 0 + 1 + 1 \equiv 2(\bmod 4)$
Điều này vô lí vì số chính phương không thể chia 4 dư 2.
Thật vậy: Xét số chính phương ${n^2}$ ta có:
+) Nếu n = 2k thì ${n^2} = {(2k)^2} = 4{k^2} \vdots 4$
+) Nếu n = 2k + 1 thì:
${n^2} = {(2k + 1)^2} = 4{k^2} + 4k + 1$ chia 4 dư 1.
Vậy số chính phương chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1 khi chia cho 4.
Vậy ${2015^{4n}} + {2016^{4n}} + {2017^{4n}} + {2018^{4n}}$ không là số chính phương.