Với x, y là các số thực dương thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q = 2×2 – y2 + x + 1/x + 2020 02/10/2021 Bởi Josephine Với x, y là các số thực dương thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Q = 2×2 – y2 + x + 1/x + 2020
$Q=2x^2-y^2+x+\dfrac{1}{x}+2020$ $\rightarrow Q=x^2+(x-y)(x+y)+x+\dfrac{1}{x}+2020$ $\rightarrow Q=x^2+x-y+x+\dfrac{1}{x}+2020$ $\rightarrow Q=x^2+x-(1-x)+x+\dfrac{1}{x}+2020$ $\rightarrow Q=x^2+3x+\dfrac{1}{x}+2019$ $\rightarrow Q=(x-\dfrac{1}{2})^2+4x+\dfrac{1}{x}+2019-\dfrac{1}{4}$ $\rightarrow Q\ge 0+2\sqrt{4x.\dfrac{1}{x}}+2019-\dfrac{1}{4}$ $\rightarrow Q\ge 2019+\dfrac{15}{4}$ Bình luận
+ Ta có: $x + y = 1 ⇒ y = 1 – x$. + Ta có: $Q = 2x^{2} – y^{2} + x + \dfrac {1}{x} + 2020$. $= 2x^{2} – (1 – x)^{2} + x + \dfrac {1}{x} + 2020$. $= 2x^{2} – (1 – 2x + x^{2}) + x + \dfrac {1}{x} + 2020$. $= 2x^{2} – 1 + 2x – x^{2} + x + \dfrac {1}{x} + 2020$. $= (x^{2} + 2x + 1) + (x + \dfrac {1}{x}) + 2018$. $= (x + 1)^{2} + (x + \dfrac {1}{x}) + 2018$. + Ta có: $(x + 1)^{2} ≥ 0$ $∀x > 0$. + Áp dụng bất đẳng thức cộng cho hai số dương $x$ và $\dfrac {1}{x}$, ta được: $x + \dfrac {1}{x} ≥ 2\sqrt {1.\dfrac {1}{x}} = 2$. $⇒ Q ≥ 2 + 2018 = 2020$. + Dấu $”=”$ xảy ra $\left \{ {{x \ + \ 1 \ = \ 0} \atop {x \ = \ \dfrac {1}{x}}} \right. ⇔ x = -1$. $⇒ y = 1 – (-1) = 2$. + Vậy: $Min_{Q} = 2020$ khi $x = -1, y = 2$. —————————- XIN HAY NHẤT CHÚC EM HỌC TỐT Bình luận
$Q=2x^2-y^2+x+\dfrac{1}{x}+2020$
$\rightarrow Q=x^2+(x-y)(x+y)+x+\dfrac{1}{x}+2020$
$\rightarrow Q=x^2+x-y+x+\dfrac{1}{x}+2020$
$\rightarrow Q=x^2+x-(1-x)+x+\dfrac{1}{x}+2020$
$\rightarrow Q=x^2+3x+\dfrac{1}{x}+2019$
$\rightarrow Q=(x-\dfrac{1}{2})^2+4x+\dfrac{1}{x}+2019-\dfrac{1}{4}$
$\rightarrow Q\ge 0+2\sqrt{4x.\dfrac{1}{x}}+2019-\dfrac{1}{4}$
$\rightarrow Q\ge 2019+\dfrac{15}{4}$
+ Ta có: $x + y = 1 ⇒ y = 1 – x$.
+ Ta có: $Q = 2x^{2} – y^{2} + x + \dfrac {1}{x} + 2020$.
$= 2x^{2} – (1 – x)^{2} + x + \dfrac {1}{x} + 2020$.
$= 2x^{2} – (1 – 2x + x^{2}) + x + \dfrac {1}{x} + 2020$.
$= 2x^{2} – 1 + 2x – x^{2} + x + \dfrac {1}{x} + 2020$.
$= (x^{2} + 2x + 1) + (x + \dfrac {1}{x}) + 2018$.
$= (x + 1)^{2} + (x + \dfrac {1}{x}) + 2018$.
+ Ta có: $(x + 1)^{2} ≥ 0$ $∀x > 0$.
+ Áp dụng bất đẳng thức cộng cho hai số dương $x$ và $\dfrac {1}{x}$, ta được:
$x + \dfrac {1}{x} ≥ 2\sqrt {1.\dfrac {1}{x}} = 2$.
$⇒ Q ≥ 2 + 2018 = 2020$.
+ Dấu $”=”$ xảy ra $\left \{ {{x \ + \ 1 \ = \ 0} \atop {x \ = \ \dfrac {1}{x}}} \right. ⇔ x = -1$.
$⇒ y = 1 – (-1) = 2$.
+ Vậy: $Min_{Q} = 2020$ khi $x = -1, y = 2$.
—————————-
XIN HAY NHẤT
CHÚC EM HỌC TỐT