Với x > y và xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $\frac{x^2+y^2}{x- y}$ Giúp với QAQ 30/11/2021 Bởi Melody Với x > y và xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $\frac{x^2+y^2}{x- y}$ Giúp với QAQ
Đáp án: Giải thích các bước giải: $A=\dfrac{x^2+y^2-2+2}{x-y}=\dfrac{x^2+y^2-2xy+2}{x-y}$ (do $xy=1$ nên hiển nhiên $2=2xy$) $⇒A=\dfrac{(x-y)^2+2}{x-y}=x-y+\dfrac{2}{x-y} \geq 2\sqrt{\dfrac{2(x-y)}{x-y}}=2\sqrt{2}$ Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\dfrac{2}{x-y}\\\end{cases}$ $⇔\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\sqrt{2}\\\end{cases}$ $⇔\begin{cases}\\x=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\\\end{cases}$ Vậy $A_{min}=2\sqrt{2}$ khi $(x;y)=\left( \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)$ Bình luận
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$A=\dfrac{x^2+y^2-2+2}{x-y}=\dfrac{x^2+y^2-2xy+2}{x-y}$ (do $xy=1$ nên hiển nhiên $2=2xy$)
$⇒A=\dfrac{(x-y)^2+2}{x-y}=x-y+\dfrac{2}{x-y} \geq 2\sqrt{\dfrac{2(x-y)}{x-y}}=2\sqrt{2}$
Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\dfrac{2}{x-y}\\\end{cases}$
$⇔\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\sqrt{2}\\\end{cases}$
$⇔\begin{cases}\\x=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\\\end{cases}$
Vậy $A_{min}=2\sqrt{2}$ khi $(x;y)=\left( \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)$