Với x > y và xy = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = $\frac{x^2+y^2}{x- y}$ Giúp với QAQ

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $A=\dfrac{x^2+y^2-2+2}{x-y}=\dfrac{x^2+y^2-2xy+2}{x-y}$ (do $xy=1$ nên hiển nhiên $2=2xy$)

$⇒A=\dfrac{(x-y)^2+2}{x-y}=x-y+\dfrac{2}{x-y} \geq 2\sqrt{\dfrac{2(x-y)}{x-y}}=2\sqrt{2}$

Dấu “=” xảy ra khi $\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\dfrac{2}{x-y}\\\end{cases}$

$⇔\begin{cases}x>y\\xy=1\\x-y=\sqrt{2}\\\end{cases}$

$⇔\begin{cases}\\x=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\y=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\\\end{cases}$

Vậy $A_{min}=2\sqrt{2}$ khi $(x;y)=\left( \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2};\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\right)$