Write 1995^1995 as a sum of natural number. The remainder when we divide the sum of the cubes of those natural numbers by 6 is
A. 3
B. 5
C. 8
D. 9
Write 1995^1995 as a sum of natural number. The remainder when we divide the sum of the cubes of those natural numbers by 6 is
A. 3
B. 5
C. 8
D. 9
Đáp án: A. 3
Giải thích các bước giải:
Đặt A = $1995^{1995}$ = $x_{1}$ + $x_{2}$ +… + $x_{n}$
Đặt B = $x_{1}$$^{3}$ + $x_{2}$$^{3}$ + … + $x_{n}$$^{3}$
Trừ hai vế trên, ta có:
B – A = ($x_{1}$$^{3}$- $x_{1}$) + ($x_{2}$$^{3}$ – $x_{2}$) + … + ($x_{n}$$^{3}$ – $x_{n}$)
B – A = ($x_{1}$-1)$a_{1}$ ($x_{1}$+1) + ($x_{2}$-1)$a_{1}$ ($x_{2}$+1)+ … + ($x_{n}$-1)$x_{n}$ ($x_{n}$+1)
Ta thấy rằng: Mỗi số hạng của tổng trên là tích của 3 số liên tiếp nên mỗi số hạng đều chia hết cho 6.
=> (B-A) chia hết cho 6
=> ($1995^{1995}$) = ($1995^{3}$)$^{665}$ đồng dư với $3^{665}$ (mod 6)
Mà: $3^{k}$ chia cho 6 luôn luôn dư 3
=> $3^{665}$ chia cho 6 dư 3
=> B chia cho 6 dư 3
=> A chia cho 6 dư 3
Vậy A chia cho 6 dư 3
Đáp án : `A.3`
Bài làm :
Đặt `C = 1995^1995`
`C = x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n`
Đặt `D = x_1³ + x_2³ + … + x_n³`
Trừ hai vế cho nhau, ta đc :
`D – C = (x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n) – (x_1³ + x_2³ + … + x_n³)`
`D – C = (x_1-1)a_1(x_1+1) + (x_2-1)a_1(x_2+1) + … + (x_n – 1)a_n(x_n+1)`
Dễ thấy :
Từng số hạng của tổng trên là tích của 3 số liên tiếp
`⇒` Từng số hạng đều `\vdots 6`
`⇒ D – C \vdots 6`
`⇒ 1995^1995 = (1995³)^665`
`Ta có :
`(1995³)^665` đồng dư với `3^665` `(mod 6)`
Vì luôn luôn `3k ÷ 6` dư `3`
`⇒ 3^665 ÷ 6` dư `3`
`⇒ D ÷ 6` dư `3`
`⇒ C ÷ 6` dư `3`
Vậy …