Write 1995^1995 as a sum of natural number. The remainder when we divide the sum of the cubes of those natural numbers by 6 is A. 3 B. 5 C. 8 D. 9

Write 1995^1995 as a sum of natural number. The remainder when we divide the sum of the cubes of those natural numbers by 6 is
A. 3
B. 5
C. 8
D. 9

0 bình luận về “Write 1995^1995 as a sum of natural number. The remainder when we divide the sum of the cubes of those natural numbers by 6 is A. 3 B. 5 C. 8 D. 9”

  1. Đáp án: A. 3

     

    Giải thích các bước giải:

    Đặt A = $1995^{1995}$ = $x_{1}$ + $x_{2}$  +… +  $x_{n}$ 

    Đặt B = $x_{1}$$^{3}$ + $x_{2}$$^{3}$   + … + $x_{n}$$^{3}$ 

    Trừ hai vế trên, ta có:

    B –  A = ($x_{1}$$^{3}$- $x_{1}$) + ($x_{2}$$^{3}$ –  $x_{2}$) + … + ($x_{n}$$^{3}$ – $x_{n}$)

    B – A = ($x_{1}$-1)$a_{1}$ ($x_{1}$+1) + ($x_{2}$-1)$a_{1}$ ($x_{2}$+1)+ … + ($x_{n}$-1)$x_{n}$ ($x_{n}$+1)

    Ta thấy rằng: Mỗi số hạng của tổng trên là tích của 3 số liên tiếp nên mỗi số hạng đều chia hết cho 6.

    => (B-A) chia hết cho 6

    => ($1995^{1995}$) = ($1995^{3}$)$^{665}$ đồng dư với $3^{665}$ (mod 6)

    Mà: $3^{k}$  chia cho 6 luôn luôn dư 3 

    => $3^{665}$  chia cho 6 dư 3

    => B chia cho 6 dư 3

    => A chia cho 6 dư 3 

    Vậy A chia cho 6 dư 3

    Bình luận
  2. Đáp án : `A.3`

    Bài làm :

    Đặt `C = 1995^1995`

    `C = x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n`

    Đặt `D = x_1³ + x_2³ + … + x_n³`

    Trừ hai vế cho nhau, ta đc :

    `D – C = (x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n) – (x_1³ + x_2³ + … + x_n³)`

    `D – C = (x_1-1)a_1(x_1+1) + (x_2-1)a_1(x_2+1) + … + (x_n – 1)a_n(x_n+1)`

    Dễ thấy :

    Từng số hạng của tổng trên là tích của 3 số liên tiếp

    `⇒` Từng số hạng đều `\vdots 6`

    `⇒ D – C \vdots 6`

    `⇒ 1995^1995 = (1995³)^665`

    `Ta có :

    `(1995³)^665` đồng dư với `3^665` `(mod 6)`

    Vì luôn luôn `3k ÷ 6` dư `3`

    `⇒ 3^665 ÷ 6` dư `3`

    `⇒ D ÷ 6` dư `3`

    `⇒ C ÷ 6` dư `3`

    Vậy …

    Bình luận

Viết một bình luận