(x – y^)5 + (y – z^)5 + (z – x)^5 (Phân tích đa thức thành nhân tử)

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đặt $ a = x – y; b = y – z; c = z – x$

$ ⇒ a + b + c = 0$

Ta có $: b^{4} + c^{4} = (b² + c²)² – 2b²c²$

$ = [(b + c)² – 2bc]² – 2b²c² $

$ = [(- a)² – 2bc]² – 2b²c² = a^{4} – 4a²bc + 2b²c² (1)$

Tương tự hoán vị vòng quanh ta có:

$ c^{4} + a^{4} = b^{4} – 4ab²c + 2c²a²(2)$

$ a^{4} + b^{4} = c^{4} – 4abc² + 2a²b²(3)$

Do đó :

$ 0 = (a + b + c)(a^{4} + b^{4} + c^{4})$

$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + a(b^{4} + c^{4}) + b(c^{4} + a^{4}) + c(a^{4} + b^{4})$

$ = a^{5} + b^{5} + c^{5} + a(a^{4} – 4a²bc + 2b²c² ) + b(b^{4} – 4ab²c + 2c²a²) + c(c^{4} – 4abc² + 2a²b²)$

$ = 2(a^{5} + b^{5} + c^{5}) – 2abc[2(a² + b² + c²) – (ab + bc + ca)]$

$ = 2(a^{5} + b^{5} + c^{5}) – 2abc[2(a + b + c)² – 5(ab + bc + ca)]$

$ = 2(a^{5} + b^{5} + c^{5}) + 10abc(ab + bc + ca)$

$ ⇒ a^{5} + b^{5} + c^{5} = – 5abc(ab + bc + ca)$

Khai triển $: ab + bc + ca = (xy + yz + zx) – (x² + y² + z²) $ ( bạn tự làm)

Nên ta có:

$ (x – y)^{5} + (y – z)^{5} + (z – x)^{5} = 5(x – y)(y – z)(x – x)(x² + y² + z² – xy – yz – zx)$