`x+y+z=3` `x;y;z>0` tìm `minV=(x^2)/(x+y^2)+(y^2)/(y+z^2)+(z^2)/(z+x^2)`

Đáp án: $V_{min}=1,5⇔x=y=z=1$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

`\frac{x^2}{x+y^2}=\frac{x^2+xy^2-xy^2}{x+y^2}=x-\frac{xy^2}{x+y^2}`

`≥x-\frac{xy^2}{2\sqrt{x.y^2}}=x-\frac{y\sqrt{x}}{2}`

Chứng minh tương tự, khi đó:

`V≥(x-\frac{y\sqrt{x}}{2})+(y-\frac{z\sqrt{y}}{2})+(z-\frac{x\sqrt{z}}{2})`

`=3-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}`

Ta có: $y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}$

`≤\frac{1}{2}(y+xy)+\frac{1}{2}(z+yz)+\frac{1}{2}(x+xz)`

`=\frac{1}{2}(3+xy+yz+xz)`

`≤\frac{1}{2}(3+\frac{(x+y+z)^2}{3})`

`=\frac{1}{2}(3+\frac{3^2}{3})=3`

`⇒V≥3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}`

Dấu bằng xảy ra $⇔x=y=z=1$