`x+y+z=3` `x;y;z>0` tìm `minV=(x^2)/(x+y^2)+(y^2)/(y+z^2)+(z^2)/(z+x^2)` 23/07/2021 Bởi Amara `x+y+z=3` `x;y;z>0` tìm `minV=(x^2)/(x+y^2)+(y^2)/(y+z^2)+(z^2)/(z+x^2)`
Đáp án: $V_{min}=1,5⇔x=y=z=1$ Giải thích các bước giải: Ta có: `\frac{x^2}{x+y^2}=\frac{x^2+xy^2-xy^2}{x+y^2}=x-\frac{xy^2}{x+y^2}` `≥x-\frac{xy^2}{2\sqrt{x.y^2}}=x-\frac{y\sqrt{x}}{2}` Chứng minh tương tự, khi đó: `V≥(x-\frac{y\sqrt{x}}{2})+(y-\frac{z\sqrt{y}}{2})+(z-\frac{x\sqrt{z}}{2})` `=3-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}` Ta có: $y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}$ `≤\frac{1}{2}(y+xy)+\frac{1}{2}(z+yz)+\frac{1}{2}(x+xz)` `=\frac{1}{2}(3+xy+yz+xz)` `≤\frac{1}{2}(3+\frac{(x+y+z)^2}{3})` `=\frac{1}{2}(3+\frac{3^2}{3})=3` `⇒V≥3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}` Dấu bằng xảy ra $⇔x=y=z=1$ Bình luận
Đáp án: $V_{min}=1,5⇔x=y=z=1$
Giải thích các bước giải:
Ta có:
`\frac{x^2}{x+y^2}=\frac{x^2+xy^2-xy^2}{x+y^2}=x-\frac{xy^2}{x+y^2}`
`≥x-\frac{xy^2}{2\sqrt{x.y^2}}=x-\frac{y\sqrt{x}}{2}`
Chứng minh tương tự, khi đó:
`V≥(x-\frac{y\sqrt{x}}{2})+(y-\frac{z\sqrt{y}}{2})+(z-\frac{x\sqrt{z}}{2})`
`=3-\frac{y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}}{2}`
Ta có: $y\sqrt{x}+z\sqrt{y}+x\sqrt{z}$
`≤\frac{1}{2}(y+xy)+\frac{1}{2}(z+yz)+\frac{1}{2}(x+xz)`
`=\frac{1}{2}(3+xy+yz+xz)`
`≤\frac{1}{2}(3+\frac{(x+y+z)^2}{3})`
`=\frac{1}{2}(3+\frac{3^2}{3})=3`
`⇒V≥3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}`
Dấu bằng xảy ra $⇔x=y=z=1$
Đáp án:
Giải thích các bước giải: