YÊU CẦU RÕ RÀNG Cho 0 ≤ x,y,z ≤2 và x+y+z=3 c/m x ³+y ³+z ³ ≤9

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$x + y + z = 3$. Áp dụng Hằng đẳng thức:

$: x³ + y³ + z³ = (x + y + z)³ – 3(x + y + z)(xy + yz + zx) + 3xyz$

$ = 27 – 9(xy + yz + zx) + 3xyz$

$ = 27 – 9[xy + z(x + y)] + 3xyz$

$ = 27 – 9[xy + z(3 – z)] + 3xyz$

$ = 9 – 3xy(3 – z) + 9z² – 27z + 18$ 

$ = 9 – 3[xy(3 – z) + 3(z – 1)(2 – z)] (*)$

$ x; y; z $ có vai trò bình đẳng nên không mất

tính tổng quát có thể giả thiết $ 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 2$

$ x + y + z = 3 ⇒ 1 ≤ z ≤ 2 ⇒ (z – 1)(2 – z) ≥ 0; 3 – z > 0$

$ ⇒ xy(3 – z) + 3(z – 1)(2 – z) ≥ 0 $

Từ $(*) ⇒ x³ + y³ + z³ ≤ 9 $

Dấu $’=’$ xảy ra khi $ xy(3 – z) = 3(z – 1)(2 – z) = 0

$ ⇔ xy = (z – 1)(2 – z) = 0 ⇔ x = 0; z = 2; y = 1$

hoặc $ y = 0; z = 2; x = 1$