YÊU CẦU: VIẾT BẰNG LATEX ALL DÙ BÀI KHÁ DÀI, LÀM ĐẦY ĐỦ, VẼ HÌNH THÌ KO CẦN. CẦN VIẾT BẰNG LATEX ĐỂ NỐP BÀI ĐẸP CHO GIÁO VIÊN GẤP!
Cho hình bình hành ABCD có góc D nhọn Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của B trên các đường thẳng AD và DC chứng minh
a) Tam giác HAB đồng dạng với tam giác KCB
b) Tam giác ABD đồng dạng với tam giác BHK
c) DA . DH + DC . DK = DB^2
Giải thích các bước giải:
a) Chứng minh $ΔHAB \sim ΔKCB$ :
+) Vì $ABCD$ là hình bình hành
$\to \widehat{DAB} = \widehat{DCB}$
$\to 180^o – \widehat{DAB} = 180^o – \widehat{BCD}$
$\to \widehat{HAB} = \widehat{BKC}$
Xét $ΔHAB$ và $ΔKCB$ có :
$\left\{ \begin{array}{l} \widehat{AHB} = \widehat{CKB} = 90^o\\ \widehat{HAB}= \widehat{KCB} (cmt)\end{array} \right.$
$\to ΔHAB \sim ΔKCB$ $(g.g)$
b) Chứng minh $ΔABD \sim ΔBHK$ :
Ta thấy : $\widehat{DAB} = \widehat{AHB} + \widehat{HBA} = 90^o+\widehat{HBA}$
Mà : $\widehat{HBK} = \widehat{ABK} + \widehat{HBA} = 90^o+\widehat{HBA}$
$\to \widehat{DAB} = \widehat{HBK}$
Do $ΔHAB \sim ΔKCB$ $(cmt)$
$\to \dfrac{HB}{KB} = \dfrac{AB}{BC}$
$\to \dfrac{HB}{KB} = \dfrac{AB}{AD}$
Xét $ΔABD$ và $ΔBHK$ có :
$\dfrac{HB}{KB} = \dfrac{AB}{AD}$, $\widehat{DAB} = \widehat{KBH}$ $(cmt)$
$\to ΔABD \sim ΔBHK$ $(c.g.c)$
c) Chứng minh $DA.DH+DC.DK = DB^2$ :
+) Kẻ $AM ⊥ BD; CN ⊥ BD$
$\to DM = BN$
Xét $ΔDAM$ và $ΔDBH$ có:
$\widehat{D}$ chung; $\widehat{DMA} = \widehat{DHB} = 90^o$
$\to ΔDAM \sim ΔDBH$ $(g.g)$
$\to AD.DH = DM.BD$
Tương tự ta có : $ΔDNC \sim ΔDKB$ $(g.g)$
$\to DC.DK = DN.DB$
Khi đó : $AD.DH+DC.DK = BD.(DN+DM) = BD^2$ $(đpcm)$
$\text{a) Vì ABCD là hình bình hành nên}$ \(\widehat{BAD}=\widehat{BCD}\)
\(\Rightarrow 180^0-\widehat{BAD}=180^0-\widehat{BCD}\)
\(\Rightarrow \widehat{BAH}=\widehat{BCK}\)
$\text{Xét ΔHAB và ΔKBC ta có}$
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{BAH}=\widehat{BCK}\\ \widehat{BHA}=\widehat{BKC}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle HAB\sim \triangle KCB(g.g)\)
$\text{b) Vì ΔHAB đồng dạng ΔKCB ⇒}$ \(\frac{HB}{KB}=\frac{AB}{CB}=\frac{AB}{AD}\)
\(AB\parallel CD, BK\perp CD\Rightarrow AB\perp BK\Rightarrow \widehat{ABK}=90^0\)
$\text{Ta có:}$
\(\widehat{BAD}=180^0-\widehat{BAH}=90^0+(90^0-\widehat{BAH})=90^0+\widehat{HBA}\)
\(=\widehat{ABK}+\widehat{HBA}=\widehat{HBK}\)
$\text{Xét ΔABC và ΔBHK ta có:}$
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{BAD}=\widehat{HBK}(cmt)\\ \frac{AB}{AD}=\frac{HB}{BK}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle ABD\sim \triangle HBK(c.g.c)\)
$\text{c) Theo câu a ⇒}$ \(\frac{HA}{KC}=\frac{AB}{CB}=\frac{CD}{AD}\Rightarrow AD.HA=CD.KC\)
$\text{Do đó:}$
\(DA.DH+DC.DK=DA(DA+AH)+DK(DK-CK)\)
\(=DA^2+DK^2+CD.KC-DK.CK\)
\(=BC^2+DK^2+CD.KC-DK.CK\)
\(=BK^2+CK^2+DK^2+CD.KC-DK.CK\)
\(=BD^2+(CK^2+CD.KC-DK.CK)\)
\(=BD^2+CK(CK+CD-DK)=BD^2+CK.0=BD^2\) $\text{(đpcm)}$