1. tìm m để phương trình x^3-3x+1+2m=0 có 3 nghiệm thực phân biệt
2. Cho hàm số y= 2x^3+3x^2-1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x^3+3x^2+2m=0
1. tìm m để phương trình x^3-3x+1+2m=0 có 3 nghiệm thực phân biệt
2. Cho hàm số y= 2x^3+3x^2-1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x^3+3x^2+2m=0
$1)\quad x^3 – 3x + 1 + 2m =0$
$\Leftrightarrow x^3 – 3x + 1 = -2m$
Xét $f(x) = x^3 – 3x + 1$
$\Rightarrow f'(x) = 3x^2 – 3$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$
Bảng xét dấu:
$\begin{array}{c|ccc}x&&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\\hline f'(x)&&+&0&-&0&+&\end{array}$
Dựa vào bảng xét dấu ta được:
+ Hàm số đạt cực đại tại $x = -1;\ y_{\max} = f(-1) = 3$
+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 1;\ y_{\min} = f(1) = -1$
Khi đó:
Phương trình $f(x) = -2m$ có `3` nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow y =-2m$ cắt $y = f(x)$ tại `3` điểm phân biệt
$\Leftrightarrow y_{\min} < -2m < y_{\max}$
$\Leftrightarrow -1 < -2m < 3$
$\Leftrightarrow -\dfrac32 < m < \dfrac12$
$2)\quad y = f(x) = 2x^3 + 3x^2 – 1$
$\Rightarrow f'(x) = 6x^2 + 6x$
$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -1\\x = 0\end{array}\right.$
Bảng xét dấu:
$\begin{array}{c|ccc}x&&-\infty&&-1&&0&&+\infty\\\hline f'(x)&&+&0&-&0&+&\end{array}$
Dựa vào bảng xét dấu, ta được:
+ Hàm số đạt cực đại tại $x = -1;\ y_{\max} = f(-1) =0$
+ Hàm số đạt cực tiểu tại $x = 0;\ y_{\min} = f(0) = -1$
Khi đó:
$\quad 2x^3 + 3x^2 + 2m = 0$
$\Leftrightarrow 2x^3 + 3x^2 – 1 = -m – 1$
Số nghiệm của phương trình đúng bằng số giao điểm giữa đường thẳng $y = – m – 1$ và $y = f(x)$
+ Phương trình có nghiệm duy nhất
$\Leftrightarrow y = – m – 1$ cắt $y = f(x)$ tại `1` điểm
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-m – 1 > y_{\max}\\-m – 1 < y_{\min}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-m – 1 > 0\\-m – 1 < -1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m< – 1 \\m>0\end{array}\right.$
+ Phương trình có `2` nghiệm
$\Leftrightarrow y = – m – 1$ cắt $y = f(x)$ tại `2` điểm
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-m – 1 = y_{\max}\\-m – 1 = y_{\min}\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}-m – 1 = 0\\-m – 1 = -1\end{array}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}m= – 1 \\m=0\end{array}\right.$
+ Phương trình có `3` nghiệm
$\Leftrightarrow y = – m – 1$ cắt $y = f(x)$ tại `3` điểm
$\Leftrightarrow y_{\min} < -m – 1 < y_{\max}$
$\Leftrightarrow -1 < – m – 1 < 0$
$\Leftrightarrow -1 < m < 0$