2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = -x 2 và đường thẳng (d): y = 2x+m+1 a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3. b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1, y1) và B(x2, y2) sao cho x1y2 + x2y1 > – 4
Đáp án:
$\begin{array}{l}
\left( P \right):y = – {x^2}\\
\left( d \right):y = 2x + m + 1\\
a)Khi:\left( {0;3} \right) \in \left( d \right)\\
\Leftrightarrow 3 = 2.0 + m + 1\\
\Leftrightarrow m = 2\\
Vậy\,m = 2\\
b)Xet: – {x^2} = 2x + m + 1\\
\Leftrightarrow {x^2} + 2x + m + 1 = 0\\
\Delta ‘ = 1 – m – 1 = – m
\end{array}$
Để cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì:
$\begin{array}{l}
\Delta ‘ > 0\\
\Leftrightarrow – m > 0\\
\Leftrightarrow m < 0\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = – 2\\
{x_1}{x_2} = m + 1
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{y_1} = – x_1^2\\
{y_2} = – x_2^2
\end{array} \right.\\
Khi:{x_1}{y_2} + {x_2}{y_1} > – 4\\
\Leftrightarrow {x_1}.\left( { – x_2^2} \right) + {x_2}.\left( { – x_1^2} \right) > – 4\\
\Leftrightarrow – {x_1}{x_2}\left( {{x_2} + {x_1}} \right) > – 4\\
\Leftrightarrow – \left( {m + 1} \right).\left( { – 2} \right) > – 4\\
\Leftrightarrow m + 1 > – 2\\
\Leftrightarrow m > – 3\\
Vậy\, – 3 < m < 0
\end{array}$