Bài 1 : Cho phương trình x ² -2.( m+1) .x +m ² + m -1=0
a) Với giá trị nào của m thì phương trình luôn có nghiệm.
b) Với trường hợp phương trình luôn có nghiệm x1 và x2 , hãy tìm m để x1² +x2 ² = x1 .x2 +1
Bài 1 : Cho phương trình x ² -2.( m+1) .x +m ² + m -1=0
a) Với giá trị nào của m thì phương trình luôn có nghiệm.
b) Với trường hợp phương trình luôn có nghiệm x1 và x2 , hãy tìm m để x1² +x2 ² = x1 .x2 +1
a) Để ptrinh đã cho luôn có nghiệm thì $\Delta’ \geq 0$ hay
$(m+1)^2 – (m^2 + m – 1) \geq0$
$<-> m^2 + 2m + 1 – m^2 – m + 1 \geq 0$
$<-> m \geq -2$
b) Để ptrinh có 2 nghiệm phân biệt thì $\Delta ‘ > 0$ hay $m > -2$
Khi đó, ta có
$x_1^2 + x_2^2 = x_1 x_2 + 1$
$<-> (x_1 + x_2)^2 – 2x_1 x_2 = x_1 x_2 + 1$
$<-> (x_1 + x_2)^2 = 3x_1 x_2 + 1$
Áp dụng Viet ta có
$x_1 + x_2 = 2(m+1), x_1 x_2 = m^2 + m – 1$
Thay vào đẳng thức ta có
$4(m+1)^2 = 3(m^2 + m – 1) + 1$
$<-> 4(m^2 + 2m + 1) = 3(m^2 + m -1 ) + 1$
$<-> m^2 + 5m + 6 = 0$
$<-> (m+2)(m+3) = 0$
Vậy $m = -2$ (loại) hoặc $m = -3$ (loại)
Vậy ko có giá trị nào của $m$ thỏa mãn.
a, x ² -2.( m+1) .x +m ² + m -1=0
Δ ‘= b’² -ac = (m+1) ² – 1.( m²+m-1) = m²+2m +1 -m²-m+1 = m +2
PT luôn có nghiệm ⇔ Δ’ ≥ 0 ⇔ m + 2 ≥ 0 ⇔ m ≥-2
Vậy phương trình luôn có nghiệm khi m ≥-2
b, Theo Viét ta có
x1 + x2 = -b/a = 2( m+1)
x1.x2 = c/a = m² +m -1
Có: x1² +x2 ² = x1 .x2 +1
⇔ x1² +x2 ² -x1.x2 = 1
⇔ x1² + x2² + 2 .x1.x2 – 3.x1.x2 =1
⇔ ( x1 + x2 )² – 3.x1. x2 = 1
mà x1 + x2 = 2( m+1) ; x1.x2 = m² +m +1
⇒ 4( m+1)² – 3 . ( m² +m -1) = 1
⇔ 4m² + 8m +4 – 3m² -3m +3 -1 =0
⇔ m² +5m +6 =0
⇔( m +2) ( m+3) =0
⇔ m=-2 hoặc m =-3
mà m ≥-2
⇒ m = -2( TM)
Vậy với trường hợp phương trình luôn có nghiệm x1 và x2 , để x1² +x2 ² = x1 .x2 +1 thì m=-2