Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x -2$\sqrt{x-1}$ + 3
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết x+y+z = 2$\sqrt{x+4}$ $\sqrt{xy-1}$+6 $\sqrt{z-2}$-11
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = x -2$\sqrt{x-1}$ + 3
Bài 2: Tìm các số x, y, z biết x+y+z = 2$\sqrt{x+4}$ $\sqrt{xy-1}$+6 $\sqrt{z-2}$-11
Đáp án:
Bài 1: $A_{min}=3$
Bài 2: $(x,y,z)=(1,5,11)$.
Giải thích các bước giải:
Bài 1.
$A=x-2\sqrt{x-1}+3=((x-1)-2\sqrt{x-1}+1)+3$
$=\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+3$
Do $\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2\geq 0 \forall x\geq 1$
$\Rightarrow \left(\sqrt{x-1}-1\right)^2+3 \geq 3$
hay $A \geq 3$.
Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \sqrt{x-1}-1 =0 \Leftrightarrow \sqrt{x}=1 \Leftrightarrow x=1$
Vậy $A_{min}=3 \Leftrightarrow x=1$
Bài 2.
$TXĐ: x\geq 0; y\geq 1;z\geq 2$
Ta có:
$x+y+z=2\sqrt{x}+4\sqrt{y-1}+6\sqrt{z-2}-11$
$\Leftrightarrow (x-2\sqrt{x} +1)+(y-1-4\sqrt{y-1}+4)+(z-2-6\sqrt{z-2}+9)=0$
$\Leftrightarrow \left(\sqrt{x}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-1}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-2}-3\right)^2=0 (*)$
Vì $\begin{cases}\left(\sqrt{x}-1\right)^2 \geq 0 \ \forall \ x\geq 0\\ \left(\sqrt{y-1}-2\right)^2 \geq 0 \ \forall\ y\geq 1\\ \left(\sqrt{z-2}-3\right)^2 \geq 0\ \forall\ z\geq 2\end{cases}$
nên để (*) xảy ra thì:
$\begin{cases} \sqrt{x}-1=0\\ \sqrt{y-1}-2=0\\ \sqrt{z-2}-3=0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x}=1\\ \sqrt{y-1}=2\\ \sqrt{z-2}=3\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=1(tm)\\ y=5(tm)\\ z=11(tm)\end{cases}$
Vậy $(x,y,z)=(1,5,11)$.