Bài tập khó!!! Giúp me với nha!!! a) Chứng minh rằng với mọi a, b >0 ta có $a^{5}$ + $b^{5}$ $\geq$ $a^{3}$$b^{2}$ + $a^{2}$$b^{3}$. Dấu “=” xảy ra k

0 bình luận về “Bài tập khó!!! Giúp me với nha!!! a) Chứng minh rằng với mọi a, b >0 ta có $a^{5}$ + $b^{5}$ $\geq$ $a^{3}$$b^{2}$ + $a^{2}$$b^{3}$. Dấu “=” xảy ra k”

1. Đáp án: $b.P\le 1$

   Giải thích các bước giải:

   a.Ta có :
   $a^5+a^5+b^5+b^5+b^5\ge 5\sqrt{a^5\cdot a^5\cdot b^5\cdot b^5\cdot b^5}=5a^2b^3$
   $\to 2a^5+3b^5\ge 5a^2b^3$

   Tương tự ta có $3a^5+2b^5\ge 5a^3b^2$

   Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên

   $\to 5(a^5+b^5)\ge 5(a^2b^3+b^3a^2)$

   $\to a^5+b^5\ge a^2b^3+b^3a^2$

   $\to a^5+b^5\ge a^2b^2(a+b)$

   Dấu = xảy ra khi $a=b$

   b.Áp dụng bất đẳng thức ở câu a ta có:

   $P\le \dfrac{ab}{a^2b^2(a+b)+ab}+\dfrac{bc}{b^2c^2(b+c)+bc}+\dfrac{ca}{c^2a^2(c+a)+ca}$

   $\to P\le \dfrac{1}{ab(a+b)+1}+\dfrac{1}{bc(b+c)+1}+\dfrac{1}{ca(c+a)+1}$

   $\to P\le \dfrac{1}{ab(a+b)+abc}+\dfrac{1}{bc(b+c)+abc}+\dfrac{1}{ca(c+a)+abc}$

   $\to P\le \dfrac{1}{ab(a+b+c)}+\dfrac{1}{bc(a+b+c)}+\dfrac{1}{ca(c+a+b)}$

   $\to P\le \dfrac{c}{abc(a+b+c)}+\dfrac{a}{abc(a+b+c)}+\dfrac{b}{bca(c+a+b)}$

   $\to P\le \dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}$

   $\to P\le 1$

   Dấu = xảy ra khi $a=b=c=\dfrac13$