Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính: \(\int {{{\sin }^4}x} dx\) 13/09/2021 Bởi Aubrey Bằng cách biến đổi các hàm số lượng giác, hãy tính: \(\int {{{\sin }^4}x} dx\)
Đáp án: sin 4 x = ( 1 − cos 2 x ) 2 4 = 1 4 ( 1 2 cos 2 x + cos 2 2 x ) = 1 4 ( 1 − 2 cos 2 x + 1 + cos 4 x 2 ) = 1 4 ( 3 2 − 2 cos 2 x + 1 2 cos 4 x ) Khi đó ∫ sin 4 x d x = ∫ 1 4 ( 3 2 − 2 cos 2 x + 1 2 cos 4 x ) d x = ∫ ( 3 8 − 1 2 cos 2 x + 1 8 cos 4 x ) d x = 3 8 x − 1 2 . sin 2 x 2 + 1 8 . sin 4 x 4 + C = 3 8 x − sin 2 x 4 + sin 4 x 32 + C Bình luận
Ta có: \({\sin ^4}x = \dfrac{{{{\left( {1 – \cos 2x} \right)}^2}}}{4}\)\( = \dfrac{1}{4}\left( {1 – 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)\) \( = \dfrac{1}{4}\left( {1 – 2\cos 2x + \dfrac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)\) \( = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{3}{2} – 2\cos 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x} \right)\) Khi đó \(\int {{{\sin }^4}x} dx\)\( = \int {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{3}{2} – 2\cos 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x} \right)dx} \) \( = \int {\left( {\dfrac{3}{8} – \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{8}\cos 4x} \right)dx} \) \( = \dfrac{3}{8}x – \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 2x}}{2} + \dfrac{1}{8}.\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C\) \( = \dfrac{3}{8}x – \dfrac{{\sin 2x}}{4} + \dfrac{{\sin 4x}}{{32}} + C\) Bình luận
Đáp án: sin
4
x
=
(
1
−
cos
2
x
)
2
4
=
1
4
(
1
2
cos
2
x
+
cos
2
2
x
)
=
1
4
(
1
−
2
cos
2
x
+
1
+
cos
4
x
2
)
=
1
4
(
3
2
−
2
cos
2
x
+
1
2
cos
4
x
)
Khi đó
∫
sin
4
x
d
x
=
∫
1
4
(
3
2
−
2
cos
2
x
+
1
2
cos
4
x
)
d
x
=
∫
(
3
8
−
1
2
cos
2
x
+
1
8
cos
4
x
)
d
x
=
3
8
x
−
1
2
.
sin
2
x
2
+
1
8
.
sin
4
x
4
+
C
=
3
8
x
−
sin
2
x
4
+
sin
4
x
32
+
C
Ta có: \({\sin ^4}x = \dfrac{{{{\left( {1 – \cos 2x} \right)}^2}}}{4}\)\( = \dfrac{1}{4}\left( {1 – 2\cos 2x + {{\cos }^2}2x} \right)\)
\( = \dfrac{1}{4}\left( {1 – 2\cos 2x + \dfrac{{1 + \cos 4x}}{2}} \right)\) \( = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{3}{2} – 2\cos 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x} \right)\)
Khi đó \(\int {{{\sin }^4}x} dx\)\( = \int {\dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{3}{2} – 2\cos 2x + \dfrac{1}{2}\cos 4x} \right)dx} \) \( = \int {\left( {\dfrac{3}{8} – \dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{8}\cos 4x} \right)dx} \)
\( = \dfrac{3}{8}x – \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sin 2x}}{2} + \dfrac{1}{8}.\dfrac{{\sin 4x}}{4} + C\) \( = \dfrac{3}{8}x – \dfrac{{\sin 2x}}{4} + \dfrac{{\sin 4x}}{{32}} + C\)