Câu 5 : Cho P(x) = ax2 + bx + c .
Biết P(1), P(4), P(9) là các số hữu tỉ , chứng minh a, b, c cũng là các số hữu tỉ
Câu 5 : Cho P(x) = ax2 + bx + c .
Biết P(1), P(4), P(9) là các số hữu tỉ , chứng minh a, b, c cũng là các số hữu tỉ
P(1) = a.1² + b.1 + c = a + b + c thuộc Q. (1)
P(4) a.4² + b.4 + c = 16a + 4b + c thuộc Q. (2)
P(9) = a.9²+ b.9 + c = 81a + 9b + c thuộc Q. (3)
Từ (1) và (2) có : (16a + 4b + c) − (a + b + c) = 15a + 3b = 3(5a + b) thuộc Q
Do đó 5a + b = Q
Từ (2) và (3) có: (81a + 9b + c) (16a + 4b + c) = 65a + 5b = 5(13a + b) thuộc Q
Do đó 13a + b thuộc Q
(13a + 5b) (5a + b) = 8a thuộc Q
=> a thuộc Q
a = Q và 13a + b thuộc Q => b thuộc Q
Vì a € Q, b € Q, a + b + c € Q⇒c € Q.
P(x) = ax2 + bx + c
ta có
$a+b+c∈Q(1)$
$16a+4b+c(2)$
$81a+9b+c(3)$
kết hợp với (3)
$=>a-11b-4c$ ∈Q(4)
Từ (2) có: $48a+12c+3c$ ∈ Q(5)
Từ (4)(5)
$=>49a+b-c$ ∈ Q
kết hợp với (1)
$=>50a+2b$ ∈Q
=> $25a+b$ ∈Q(6)
Từ (6)(1)
$=> 24a-c$∈Q
kết hợp với (2)
=> $40a+4b$ ∈Q
=> $10a+b$ ∈Q kết hợp với (6)
$=>15a$ ∈Q
=> $a$ ∈Q
kết hợp với (6)
=>$b$∈Q
a, b, c cũng là các số hữu tỉ