Cho 2 số thực dương $x$, $ y$ thỏa mãn $ x+y$ = 5. Chứng minh rằng $\frac{16}{x}$ +$\frac{1}{4y}$ $\geq$ $\frac{81}{20}$

0 bình luận về “Cho 2 số thực dương $x$, $ y$ thỏa mãn $ x+y$ = 5. Chứng minh rằng $\frac{16}{x}$ +$\frac{1}{4y}$ $\geq$ $\frac{81}{20}$”

1. Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ dạng $Engel$ ta được:

   \(\begin{array}{l}
   \quad \dfrac{16}{x} + \dfrac{1}{4y} = \dfrac{64}{4x} + \dfrac{1}{4y} \geqslant \dfrac{(8+1)^2}{4x +4y} = \dfrac{81}{4(x+y)} = \dfrac{81}{20}\\
   \text{Dấu = xảy ra}\\
   \Leftrightarrow \dfrac{4x}{8} = \dfrac{4y}{1} = \dfrac{4x + 4y}{8+1} = \dfrac{20}{9}\\
   \Leftrightarrow \begin{cases}x = \dfrac{40}{9}\\y = \dfrac59\end{cases}\\
   \end{array}\)

   Trả lời