Cho x^2+y^2=x+y với x,y dương Tìm GTLN của P= x/x+1 + y/y+1

0 bình luận về “Cho x^2+y^2=x+y với x,y dương Tìm GTLN của P= x/x+1 + y/y+1”

1. Đáp án:

    `max P = 1 <=> x=y=1`

   Giải thích các bước giải:

    Xét `x^2 + y^2 = x +y`

   `<=> x(x-1) = y(y-1)`

   `<=>`  $\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} x=y\\\\x-1=1-y \end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=1-y\\\\y=x-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

   `<=>` $\left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix} x=y\\\\x+y=2 \end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x=1-(x-1)\\\\y=x-1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

   `<=>`$\left[\begin{matrix}x=y=1\\\left\{\begin{matrix}x=1\\\\y=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.$

   Với `x=y=1`

   `P = x/(x+1) + y/(y+1)`

   `= 1/(1+1)+ 1/(1+1)`

   `= 1`

   Với `x=1, y=0`

   `P = x/(x+1) + y/(y+1)`

   `= 1/(1+1) + 0/(0+1)`

   `= 1/2`

   Vậy `max P = 1 <=> x=y=1`

   Bình luận

2. P=$\frac{x}{x+1}$ +$\frac{y}{y+1}$ 

   ≤ $\frac{x}{2\sqrt{x}}$ +$\frac{y}{2\sqrt{y}}$ // áp dụng bất đẳng thức cô si

   suy ra 2P $\leq$  $\sqrt{x}$  +$\sqrt{y}$ (1)

   đánh giá x²+y²=x+y

   x+y = (x²+1)+(y²+1)-2

   x+y+2 ≥ 2x +2y //áp dụng bất đẳng thức cô si

   x+y≤2

   (1) ⇔ 2P ≤ $\leq$  $\sqrt{x}$  +$\sqrt{y}$ ≤$\frac{x+1}{2}$  +$\frac{y+1}{2}$  = $\frac{x+y+2}{2}$ 

   $\leq$  2 // do x+y $\leq$  2

    vậy max P=1 dấu bằng x=y=1

    

   Bình luận