Toán Cho x^3 + y^3 = 2. Chứng minh rằng x + y <= 2 (Bất phương trình) 17/09/2021 By Rose Cho x^3 + y^3 = 2. Chứng minh rằng x + y <= 2 (Bất phương trình)
Đáp án: Giải thích các bước giải: Theo gt $: 2 = x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) (1)$ Vì $x² – xy + y² = (x – \frac{y}{2})² + \frac{3y²}{4} ≥ 0$ nên từ $(1) ⇒ x + y > 0$ Lại có $: 4xy ≤ (x + y)² ⇔ 3xy(x + y) ≤ \frac{3}{4}(x + y)³$ Nên $: (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)$ $ ≤ 2 + \frac{3}{4}(x + y)³ ⇔ (x + y)³ ≤ 8 ⇔ x + y ≤ 2 (đpcm)$ Dấu $”=”$ xảy ra khi $x = y = 1$ Trả lời
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Theo gt $: 2 = x³ + y³ = (x + y)(x² – xy + y²) (1)$
Vì $x² – xy + y² = (x – \frac{y}{2})² + \frac{3y²}{4} ≥ 0$
nên từ $(1) ⇒ x + y > 0$
Lại có $: 4xy ≤ (x + y)² ⇔ 3xy(x + y) ≤ \frac{3}{4}(x + y)³$
Nên $: (x + y)³ = x³ + y³ + 3xy(x + y)$
$ ≤ 2 + \frac{3}{4}(x + y)³ ⇔ (x + y)³ ≤ 8 ⇔ x + y ≤ 2 (đpcm)$
Dấu $”=”$ xảy ra khi $x = y = 1$