Cho 99 điểm trên mặt phẳng trong đó có 2 điểm A và B cách nhau 3cm. Mỗi nhóm 3 điểm bất kì của các điểm đã cho bao giờ cũng có thể chọn ra 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1cm. Vẽ đường tròn (A; 1cm) và (B; 1cm). Chứng tỏ rằng trong hai đường tròn đó có một đường tròn chứa ít nhất là 50 điểm trong số các điểm đã cho.
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng .
Giả sử có tồn tại một số hữu tỉ xy(x;y∈Z;(x;y)=1) sao cho xy=2–√
⇒x2y2=2
⇒x22=y2
Mà y là số nguyen => y^2 là số nguyên
⇒x2⋮2
⇒x2⋮4
Mặt khác x2=2y2
=> 2y2⋮4
⇒y2⋮4
=> ƯC(x;y)=4
Trái với giả thiết
=> Không tồn tại số hữu tỉ nào mà bình phương lên bằng 2