Cho a>0,b>0 $\frac{1}{a}+$ $\frac{1}{b}=1$ CMR $\sqrt{a+b}=$$\sqrt{a-1}+$ $\sqrt{b-1}$

0 bình luận về “Cho a>0,b>0 $\frac{1}{a}+$ $\frac{1}{b}=1$ CMR $\sqrt{a+b}=$$\sqrt{a-1}+$ $\sqrt{b-1}$”

1. Đáp án:

   Giải thích các bước giải:

   $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1$

   $⇔ \dfrac{a+b}{ab}=1$

   $⇔ a+b=ab$

   $\text{Mặt khác:}$ $\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}$ $(1)$

   $\text{ĐKXĐ: $a \geq 1$; $b \geq 1$}$

   $⇔ a+b=a-1+2\sqrt{(a-1)(b-1)}+b-1$

   $⇔ a+b-a-b+2=2\sqrt{(a-1)(b-1)}$

   $⇔ \sqrt{(a-1)(b-1)}=1$

   $⇔ ab-a-b+1=1$

   $⇔ ab-(a+b)=0$

   $⇔ ab-ab=0$

   $⇔ 0=0$ $\text{(luôn đúng)}$

   $\text{⇒ (1) được chứng minh}$

   Bình luận

2. Đáp án:

    

   Giải thích các bước giải:

    $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ = 1 

   ⇒ $\frac{1}{a}$ = 1 – $\frac{1}{b}$ = $\frac{b-1}{b}$ 

   ⇒a = $\frac{b}{b-1}$ 

   Ta có :

   $\sqrt[]{a+b}$ = $\sqrt[]{b+\frac{b}{b-1}}$ = $\frac{b}{ \sqrt[]{b-1} }$ ( 1 )

   Mặt khác :

   $\sqrt[]{a-1}$ + $\sqrt[]{b-1}$ = $\sqrt[]{\frac{b}{ \sqrt[]{b-1} }-1}$ + $\sqrt[]{b-1}$ = $\frac{1}{ \sqrt[]{b-1}}$ + $\sqrt[]{b-1}$ = $\frac{b}{ \sqrt[]{b-1} }$     ( 2 )

   Từ ( 1 ) và ( 2 ) ⇒ đpcm 

   Bình luận