Cho a>0,b>0
$\frac{1}{a}+$ $\frac{1}{b}=1$ CMR $\sqrt{a+b}=$$\sqrt{a-1}+$ $\sqrt{b-1}$
Cho a>0,b>0 $\frac{1}{a}+$ $\frac{1}{b}=1$ CMR $\sqrt{a+b}=$$\sqrt{a-1}+$ $\sqrt{b-1}$
By Ariana
By Ariana
Cho a>0,b>0
$\frac{1}{a}+$ $\frac{1}{b}=1$ CMR $\sqrt{a+b}=$$\sqrt{a-1}+$ $\sqrt{b-1}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1$
$⇔ \dfrac{a+b}{ab}=1$
$⇔ a+b=ab$
$\text{Mặt khác:}$ $\sqrt{a+b}=\sqrt{a-1}+\sqrt{b-1}$ $(1)$
$\text{ĐKXĐ: $a \geq 1$; $b \geq 1$}$
$⇔ a+b=a-1+2\sqrt{(a-1)(b-1)}+b-1$
$⇔ a+b-a-b+2=2\sqrt{(a-1)(b-1)}$
$⇔ \sqrt{(a-1)(b-1)}=1$
$⇔ ab-a-b+1=1$
$⇔ ab-(a+b)=0$
$⇔ ab-ab=0$
$⇔ 0=0$ $\text{(luôn đúng)}$
$\text{⇒ (1) được chứng minh}$
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
$\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ = 1
⇒ $\frac{1}{a}$ = 1 – $\frac{1}{b}$ = $\frac{b-1}{b}$
⇒a = $\frac{b}{b-1}$
Ta có :
$\sqrt[]{a+b}$ = $\sqrt[]{b+\frac{b}{b-1}}$ = $\frac{b}{ \sqrt[]{b-1} }$ ( 1 )
Mặt khác :
$\sqrt[]{a-1}$ + $\sqrt[]{b-1}$ = $\sqrt[]{\frac{b}{ \sqrt[]{b-1} }-1}$ + $\sqrt[]{b-1}$ = $\frac{1}{ \sqrt[]{b-1}}$ + $\sqrt[]{b-1}$ = $\frac{b}{ \sqrt[]{b-1} }$ ( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) ⇒ đpcm