Cho `a,b,c>0`. CMR: `a^2+b^2+c^2+(9abc)/(a+b+c)\ge 2(ab+bc+ca)`

0 bình luận về “Cho `a,b,c>0`. CMR: `a^2+b^2+c^2+(9abc)/(a+b+c)\ge 2(ab+bc+ca)`”

1. để `a^2+b^2+c^2 +(9abc)/(a+b+c)≥2(ab+bc+ca)`

   `⇔(a^2+b^2+c^2 )(a+b+c)+(9abc)≥2(ab+bc+ca)(a+b+c)`

   `⇔(a^2+b^2+c^2 )(a+b+c)+(9abc)-2(ab+bc+ca)(a+b+c)≥0`

   `⇔(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac )+(9abc)≥0`

   `⇔(a+b+c)(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2+18abc≥0`

   `⇔abc≥0` ( điều hiển nhiên vì `a;b;c>0`)

   `⇒ a^2+b^2+c^2 +(9abc)/(a+b+c)≥2(ab+bc+ca)`

   Bình luận

2. Đáp án + giải thích các bước giải:

   ` a^2+b^2+c^2+(9abc)/(a+b+c)>=2(ab+bc+ca)`

   `->(a+b+c)^2+(9abc)/(a+b+c)>=4(ab+bc+ca)`

   `->(a+b+c)^3+9abc>=4(a+b+c)(ab+bc+ca)`

   `->a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)+9abc>=4(a+b+c)(ab+bc+ca)`

   `->a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+9abc>=4(3abc+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)`

   `->a^3+b^3+c^3+3abc>=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2`

   `->a^3+b^3+c^3+3abc>=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)` (Schur bậc 3)

   `->đpcm`

   Bình luận