Toán Cho `a,b,c>0`. CMR: `a^2+b^2+c^2+(9abc)/(a+b+c)\ge 2(ab+bc+ca)` 01/11/2021 By Arianna Cho `a,b,c>0`. CMR: `a^2+b^2+c^2+(9abc)/(a+b+c)\ge 2(ab+bc+ca)`
để `a^2+b^2+c^2 +(9abc)/(a+b+c)≥2(ab+bc+ca)` `⇔(a^2+b^2+c^2 )(a+b+c)+(9abc)≥2(ab+bc+ca)(a+b+c)` `⇔(a^2+b^2+c^2 )(a+b+c)+(9abc)-2(ab+bc+ca)(a+b+c)≥0` `⇔(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac )+(9abc)≥0` `⇔(a+b+c)(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2+18abc≥0` `⇔abc≥0` ( điều hiển nhiên vì `a;b;c>0`) `⇒ a^2+b^2+c^2 +(9abc)/(a+b+c)≥2(ab+bc+ca)` Trả lời
Đáp án + giải thích các bước giải: ` a^2+b^2+c^2+(9abc)/(a+b+c)>=2(ab+bc+ca)` `->(a+b+c)^2+(9abc)/(a+b+c)>=4(ab+bc+ca)` `->(a+b+c)^3+9abc>=4(a+b+c)(ab+bc+ca)` `->a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)+9abc>=4(a+b+c)(ab+bc+ca)` `->a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+9abc>=4(3abc+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)` `->a^3+b^3+c^3+3abc>=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2` `->a^3+b^3+c^3+3abc>=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)` (Schur bậc 3) `->đpcm` Trả lời
để `a^2+b^2+c^2 +(9abc)/(a+b+c)≥2(ab+bc+ca)`
`⇔(a^2+b^2+c^2 )(a+b+c)+(9abc)≥2(ab+bc+ca)(a+b+c)`
`⇔(a^2+b^2+c^2 )(a+b+c)+(9abc)-2(ab+bc+ca)(a+b+c)≥0`
`⇔(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-2ab-2bc-2ac )+(9abc)≥0`
`⇔(a+b+c)(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2+18abc≥0`
`⇔abc≥0` ( điều hiển nhiên vì `a;b;c>0`)
`⇒ a^2+b^2+c^2 +(9abc)/(a+b+c)≥2(ab+bc+ca)`
Đáp án + giải thích các bước giải:
` a^2+b^2+c^2+(9abc)/(a+b+c)>=2(ab+bc+ca)`
`->(a+b+c)^2+(9abc)/(a+b+c)>=4(ab+bc+ca)`
`->(a+b+c)^3+9abc>=4(a+b+c)(ab+bc+ca)`
`->a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)+9abc>=4(a+b+c)(ab+bc+ca)`
`->a^3+b^3+c^3+3(a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)+9abc>=4(3abc+a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2)`
`->a^3+b^3+c^3+3abc>=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+c^2a+ca^2`
`->a^3+b^3+c^3+3abc>=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)` (Schur bậc 3)
`->đpcm`